矢量計算一直是一個很好的工具，它能夠使數形結合，而且容易理解并方便計算。本文從矢量代數角度來推導這個公式。

先學習一些預備知識。

矢量的投影

我們學過物理知道，當拉動物體運動，隻有沿着物體運動方向的力才能使物體做功，如圖拉動小車，F的分力Fx使沿着水平方向才能使小車運動，其大小為Fx=F. cos, 我們稱Fx是F在水平方向x軸的投影。

矢量v的頂點在矢量u上的投影記作(沿餘弦方向)Prov (proj來自英語projection,投影的意思)， 如果向量u, v的夾角為θ，根據向量的性質有：

上面u或v兩側的雙豎線表示向量的長度。

如果要求v沿着u的投影向量，我們将上式乘以u的單位向量，就可得Projuv

平面的矢量方程

如上圖所示，n是平面的法線， PQ是平面的任意垂線，根據矢量正交點積為零有：

這就是平面的矢量方程。

令n = 〈 a, b, c 〉是個法向矢量，P = (x0, y0, z0)是平面上的一個點，Q = (x, y, z)是平面上所有的點集。所以：

因此可以得出平面方程的通式：

ax by cz d = 0, 其中 d = −ax0 − by0 − cz0

一般系數用大寫字母則有平面方程：

Ax By Cz D = 0

點到平面的距離

有了上面的預備知識，我們就可以求點到平面的距離。

上圖P點到平面的距離d就是向量RP的長度，而RP在n上的投影長度就是點P到平面的距離。

利用v在u上的投影公式：

由此得出點到平面的距離以矢量的表達方式為：

上面的公式中的Q點是平面上的任意一點，對于平面外的任意一點P來說，我們隻有知道QP的向量即可，令Q是（0，0，0）， 那麼QP=< x, y, z >

根據我們前面談到的平面方程為Ax By Cz D = 0，顯而易見n=<A,B, C >是該平面的一個法線矢量，帶入上面的公式就有點到平面的坐标表達式：

例題：求點P =(3,1,2)與平面x−2y z = 5的距離(見下圖)。

平面方程的系數為平面提供了一個法向量:n = < 1,2,1 >。 找到向量

Q→P，我們需要平面上的一個點。 任意點都成立，設y = z = 0, Q =(5,0,0)點成立

在平面上。 求向量從Q到P的分量形式（即坐标形式）:

Q→P = 〈 3 − 5, 1 − 0, 2 − 0 〉 = 〈 −2, 1, 2 〉 .

因此：

讀者也可以把點P的坐标x=3, y=1, z=2, 和平面方程的系數A=1, B=-2, C=1， D=-5z直接帶入公式

得出的結果是一樣的。

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