大家好！本文和大家分享一道高難度美國數學競賽題：已知a^3 b^3 3ab=1，求a b的值。這道題的難度确實非常大，據說正确率不到1％，甚至很多學霸看到題後也是束手無策。接下來我們一起來看一下這道難倒衆多學霸的競賽題。

下面介紹3種解法。

解法一：因式分解

要求a b的值，那麼需要将題目給出的關系式進行因式分解，得到a b這個整體或者分别求出a和b的值。

怎麼對這個關系式進行因式分解呢？

關系式中出現了兩個數的立方和，所以考慮用立方和公式進行分解。

立方和公式：a^3 b^3=(a b)(a^2-ab b^2)。

接下來的分解是個難點，也就是如何将ab進行分解呢？

用立方和公式分解後，出現了a b的形式，那麼可以考慮(a b)^2，這樣就會出現ab的形式。所以要在後面添項，即先加上a^2和b^2，再減去a^2和b^2。然後再分組進行因式分解，分解的結果見下圖：

分解到這一步後，接下來就需要分類讨論。

①a b-1=0，也就是a b=1。

②a^2-ab b^2 a b 1=0時，兩邊同時乘以2，再分組：a^2-2ab b^3 a^2 2a 1 b^2 2b 1=0，即：

(a b)^2 (a 1)^2 (b 1)^2=0。

實數範圍内，完全平方是非負數，3個非負數相加為0，則每個部分都為0，這樣就可以解出a和b的值，從而求出a b。

完整過程如下：

解法二：換元法

這道題用因式分解的難度是非常大的，很難想到對3ab的處理方法，那麼下面介紹一個不需要因式分解的方法：換元法。

令a b=t，則a=t-b，代入原方程，用完全立方的公式将(t-b)^3展開，再确定b為主元，t為參數，化簡後就可以得到關于b的一個一元二次方程：

(t-1)(3b^2-3tb t^2 t 1)=0。

明顯地，接下來需要進行分類讨論。

t-1=0很簡單，就不多說了，關鍵是看第二種情況。

第二種情況就是關于b的一元二次方程，△=9t^2-12t^2-12t-12=-3(t 2)^2≤0。又因為原方程有解，則關于b的這個一元二次方程有實數解，即判别式為非負數，綜上△=0，即a b=-2。

解法三：恒等式

先看一個三元三次的恒等式：

a^3 b^3 c^3-3abc=(a b c)(a^2 b^2 c^2-ac-ab-bc)。

在上面這個恒等式中，當c=-1時，就得到了題目中的方程，所以題幹方程移項後可以利用這個恒等式快速進行因式分解，減小了因式分解的難度。後面的算法與解法一相同。

解法三是對解法一的優化，但是需要知道這個恒等關系才會做，解法二應該是最容易想到的方法。對于這道正确率不到1％的美國競賽題，你還有什麼簡便方法嗎？

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