1921年，《數學雜志》發表了著名數學家外爾的一篇文章，公開地贊成直覺主義，認為數學遇到了"基礎的危機"。危機是由于布勞威爾的"革命”而來的。同年，希爾伯特攻擊布勞威爾和外爾，企圖建立"克羅内克式的數學"。關于數學基礎的辯論變成了希爾伯特想要為"經典的"數學作論證和布勞威爾正在發展的重建一種經過了重大改革的直覺主義數學之戰。

直到1920年，關鍵的基礎問題一直是實數可否接受的問題，以及更為基本的非直謂性以及集合論中的強存在假設可否接受的問題，正是非直謂性和這些假設，支持了高階的無窮大以及無限制地使用存在證明。 集合理論以及由此而蘊含着古典分析，一直由于依賴于非直謂定義和強存在假設而遭到批評（特别是選擇公理）。這樣，在20世紀的頭20年，辯論集中在這樣一個問題上：在涉及定義集合和它們的子集合并确定它們的存在時，接受和允許使用哪些原理？一個關鍵問題是，怎樣把“任意子集合”這種說法的模糊的含義弄嚴格？對于這個問題，最為前後一貫的反應是策墨羅的把集合論公理化，以及外爾在《連續統》一書中的直謂系統。

然而，布勞威爾把新的甚至更基本的問題帶到了前台。以往，沒有人曾經對關于自然數的傳統推理方式起過疑問；對于古典邏輯的使用，特别是量詞和排中律在這個背景下的使用，誰也沒有猶豫過。但是，布勞威爾對于這些假設提出了原則性的批評、并且開始發展一種比外爾還激進得多的另一種分析理論。在這樣做的時候，他突然生成了一種新的連續統理論，正是這個理論，促使他宣布新時代的來臨。

直覺主義

關于“直覺主義集合論”，布勞威爾寫了兩篇文章來系統地發展他的觀點。克萊因和龐加萊就一直堅持直覺在數學知識中有着不可逃避的作用，盡管邏輯在數學證明和發展數學理論上很重要，數學卻不能歸結為純粹的邏輯：理論和證明當然要按邏輯組織起來，但是它們的基本原理（即公理）是建立在直覺的基礎上的。但是布勞威爾走得比他們更遠，他堅持數學對于語言和邏輯是絕對獨立的。

從1907年起，布勞威爾就反對排中律，認為它等價于希爾伯特的每一個數學問題都可解這一信念。排中律是這樣一個邏輯原理：不論p表示什麼命題，

例如，由排中律，π的十進展開式中有無窮多個7，或者隻有有限多個7，雖然我們不知道證明哪一個。布勞威爾認為、我們所習慣的邏輯原理都是從我們處理有限集合的子集合的方法中抽象出來的，所以把它們也用于無窮集合的情況是不對的。于是，他開始來系統地重建數學。

直覺主義者的立場是，隻有當我們或者能夠給出p的一個構造性的證明，或者能夠給出q的一個構造性的證明，這時才能說"p 或者 q"。這個觀點有一個推論，即歸謬法是無效的。考慮希爾伯特的基底定理的第一個證明，它就是由歸謬法 給出的。他證明了假設基底為無限會導緻矛盾，由此他就得到基底為有限的。但是，直覺主義者要求對于每一個假設為存在的對象，都要給出顯式的構造程序，要給出每一個數學命題後面的顯式的程序。類似于此，柯西關于代數的基本定理的證明，還有實分析中許多用到上确界的證明，所有這些證明對于直覺主義者都是無效的。

很容易給出直覺主義者不會接受的應用排中律的例子，隻需要把排中律用于任意未解決的數學問題就行了。例如，所謂卡塔蘭常數就是

不知道K是否超越數，所以，如果p表示以下命題："卡塔蘭常數是超越數"，則直覺主義者不會接受p或真或不真這一點。

這可能有點怪，甚至顯然是錯的，除非我們認識到，直覺主義者對于什麼是真也有不同的觀點。對于一個直覺主義者，說一個命題為真，就意味着我們可以用正在讨論的這種約束很緊的方法來證明它；說它不真，就意味着能夠實實在在地找出它的反例。因為沒有理由假設或者有一個構造性的證明，或者有顯式的反例，所以我們沒有理由相信排中律。這樣，為了确定具有某個性質的自然數存在，用歸謬法去證明是不夠的。如果想說服一位直覺主義者，就得要用顯式的确定方法來證明它。

請注意這個觀點是怎樣蘊含着數學并非與時間無關。到了1882 年，林德曼才證明了π是一個超越數。按照直覺主義者的說法，直到那時對于這個命題才可以賦以一個真值，而在1882年以前，按照直覺主義者的看法，這個命題卻是一個既不為真又不為不真的命題。這聽起來像是怪論，但是對于布勞威爾，這可是正确的，因為在他看來，數學對象是心智的創造，而他認為說數學對象有獨立的存在性隻不過是"形而上學"罷了。

1918年，布勞威爾把康托和策墨羅的集合代之以構造主義的對應物。後來，布勞威爾把這種對應物稱為"spread"和"species"。一個"species"基本上就是一個由特征的性質定義的集合，但有一個前提，即其每一個元素以前都已經用顯式的構造方法獨立地定義了。特别是，每一個給定的"species"的定義都是嚴格直謂的。

"spread"的概念特别具有直覺主義的特性，它是布勞威爾的連續統定義的基礎。它的企圖是避免理想化，并且公正對待和充分利用數學構造依賴于時間的本性。 例如，假設我們想要定義一個有理數序列來越來越好地逼近2的平方根。在古典分析中，我們把這個序列構思為整體存在的，但是布勞威爾定義了一個他稱為選擇序列的概念，更多地關注于這個序列可能是怎樣形成的。生成這種序列的方法之一是給出一個公式。 但是另一個方法是作一個服從于某些限制，但不那麼剛性決定的選擇，例如可以堅持

這并不能唯一地決定x_n，但是确能保證這個序列會産出對于根号2的越來越好的逼近。

所以，并不要求一個選擇序列在一開始就已經完全确定了，而可以包括數學家在不同的時刻再做選擇的自由。這兩個特點使選擇序列和經典分析裡的序列大不相同。有人說過，直覺主義者的數學是"創造中的數學"。與此對照，經典數學是以一種與時間無關的客體性為标志的，因為它的對象自身是完全确定而與數學家的思維過程無關的。

一個"spread"以選擇序列為其元素——它有點像一個規範序列如何生成的規則。例如可以取一個由所有選擇序列生成的"spread"，但這些序列要以特殊的方式開始，這樣一個"spread"代表一個線段———一般說來"spread"不表示孤立的元素。布勞威爾利用元素是滿足柯西條件的選擇序列這樣的"spread"來作連續統的新數學概念，連續統不再是由具有先前決定的具有柏拉圖式的存在性的點（或實數）構成的。它更加是真正"連續"的。有趣的是這個觀點使人想起了亞裡士多德，他在2300年前就已經強調連續統的優先性。

布勞威爾對分析的重新發展的下一個階段是對函數概念的分析。布勞威爾定義一個函數就是對一個"spread"的各個元素都指定一個值。然而，由于"spread"的本性，這種指定的方法必須完全依賴于選擇序列開始的一段，這樣才能是構造上可允許的。這給出了一個很大的驚異：所有處處定義的函數都是連續的（甚至是一緻連續的）。你可以懷疑，對于下面的函數怎麼辦呢？這個函數f就是當x<0時f（x）=0，而x≥0時f（x）=1的函數。對于布勞威爾，這個函數不是一個适當定義的函數，其深藏的理由在于我們可以定義"spreads"而不知道它們是正，是負或者是零（可能永遠也不會知道）。

拒絕排中律有一個後果，就是直覺主義的否定與經典的否定是不同的。這樣。 直覺主義的算術也和經典的算術不同。然而，哥德爾和根岑在1933年證明了算術的戴德金-佩亞諾公理系統相對于形式化的直覺主義算術是相容的（就是說，他們能确定在兩個形式系統的語句之間有一個對應關系，使得經典算術中的矛盾必然對應于其直覺主義對應物的一個矛盾。因此，若後者是相容的則前者也是）。這是希爾伯特派的一個小勝利，雖然對于分析的系統和集合理論，相應的證明一直沒有得到。

在一開始，人們寄希望于直覺主義最終會給純粹數學一個簡單而又優雅的表示。然而從布勞威爾的重建在1920年代的發展越來越清楚，直覺主義的分析将是極端複雜而又陌生的。布勞威爾并不煩惱，他在1933年說"真理的球不會如幻想的球那樣透明"。但是，外爾雖然相信布勞威爾已經把數學直覺的領域整理得完全令人滿意了，卻在1925年說："數學家們痛苦地看到，他們高聳入雲的理論的最大部分在自己眼前化為煙雲。”外爾似乎不久以後就放棄了直覺主義。幸運的是還有另外一種途徑，建議了另外一種恢複經典數學的健康的方法。

希爾伯特的綱領

這裡說的另外一種方法當然就是希爾伯特綱領。就數學的經典理論而言，這個綱領許諾的就是，用他自己在1928年說過的值得紀念的一句話來說，"讓一切疑慮一勞永逸地從世界上消除"。他從1904年起就開始發展的這個新的前景，嚴重地依賴于形式邏輯和對可以從已給的公式（即公理）證明的公式作組合學的研究。用現代邏輯學的方法，證明變成了一種形式計算，而可以機械地檢驗，所以這個過程完全是構造性的。

有趣的是，這個新的計劃是用克羅内克式的手段來論證現代的反克羅内克式的方法論。希爾伯特的目的是證明從公理開始不會證明出矛盾的公式。一旦能夠組合地或者說構造地證明了這件事，這裡的論證就可以看成是對這個公理系統的論證。

然而、希爾伯特的思想在當時還蒙上了一層陰影、那就是對于邏輯理論的不夠了解。一直到1917年至1918年，希爾伯特才又回到建立這個綱領的主題上來。這時他對邏輯學的了解已經有了改進，也更加自覺地看到他的計劃所包含的可觀的技術困難。其他數學家在促進這種進一步的了解上也起了顯著的作用．到1921年左右，希爾伯特在自己的助手伯奈斯的幫助下，對于數學的形式化已經有了很精細的概念，也認識到有必要更深刻更仔細地探索數學證明和數學理論的邏輯結構。1922 年晚些時候，他第一次在萊比錫的一次講演裡清楚地陳述了自己的綱領。

在這裡将要描述希爾伯特綱領的成熟形式，如他在1925年的論文《論無窮》中所陳述的那樣。這個綱領的主要目的是利用句法的相容性證明來建立現代數學的原理和推斷方式的邏輯可接受性。公理化、邏輯和形式化使得有可能從純粹數學的觀點來研究數學理論（所以就叫做元數學），而希爾伯特希望能用非常弱的工具來确立這個理論的相容性。特别是他希望能回答布勞威爾和外爾的所有的批評，這樣來論證集合理論、經典的實數理論、古典分析。

希爾伯特的途徑的整個要點在于使數學充分精确，所以可以得到關于其性質的精确的結果。為了完成這個綱領，以下的步驟是不可少的：

1. 找到一個數學理論 T，例如實數理論的适當的公理和原始概念。
2. 找到古典邏輯的公理和推斷規則，使得從已知命題到新命題的過渡是一個純粹的句法的形式的程序。
3. 用形式邏輯演算把T形式化，使得T中的命題隻不過是一串符号，而證明則是服從推斷的形式規則的符号串序列。
4. 在T中作一個形式證明，來表明不可能得出一個表示矛盾的符号串作為一個證明的最後一行，對這個證明作有窮的研究。

事實上，步驟（2）和（3）對于某些理論，已經用相當簡單的一階邏輯中形式化的系統解決了，在任意的數理邏輯的引論中，例如對戴德金一佩亞諾算術或者策墨羅--弗朗克爾集合論都已經研究過。結果是一階邏輯就已經足夠把數學證明編為法典，有趣的是這個認識來得很晚，是在哥德爾定理得到證明以後。

希爾伯特的主要洞察在于當理論已經形式化以後，任意的證明都變成了有限的組合學的對象，不過是符合這個系統的形式規則的符号串的陣列。正如伯奈斯說過的那樣，這隻是把理論T的演繹結構"投影"到數論領域罷了，而在這個領域中有可能表示出 T 的相容性。這些認識提高了一種期望，就是隻需對形式化的證明作有窮的研究，就足以确立理論的相容性，也就是可能證明那個表示T的相容性的那個語句。但是這種期望并沒有得到以前的洞察的保證，而且證明是錯的。

另外，這個綱領有一個關鍵性的前提，就是不僅是邏輯演算，還有每一個公理系統都需要是完全的．粗略地說，所謂完全就是它們要足夠強大，允許導出所有有關的結果。哥德爾指出，這個假設對于包括（原始遞歸算術）的系統是錯誤的。

還需要對于希爾伯特所謂的有窮主義是什麼意思說幾句話。 在好幾點上，1920年代的希爾伯特綱領在一定程度上采納了龐加萊和外爾的直覺主義，而強烈地偏離了希爾伯特本人在1900年的思想。這裡正是其中一點。關鍵的思想是與弗雷格和戴德金的邏輯主義觀點相反，邏輯和純粹思維需要一些在我們從直接經驗“直覺地”得到的東西：符号和公式。

1905年，龐加萊就已經提出一個觀點，算術的相容性的形式證明會是循環論證，因為這樣一個證明必須對公式和證明的長度歸納地進行，所以就會依賴于它想要證明的歸納法公理。希爾伯特在1920年代對此回應指出，在元數學層次上所需的歸納法，比完全算術歸納法要弱得多，而這種弱的形式是基于對我們直覺接受的符号作有窮考慮得出的。有窮數學不需要任何進一步的論證或化簡。

希爾伯特綱領是先從研究弱的理論開始，再逐漸地進到較強的理論。一個形式系統的元理論研究的是諸如相容性、完全性和其他一些性質（“完全性”的邏輯意義，就是所有可以用這個演算來表示的真或者說有效的公式都可以在此系統裡導出）。命題邏輯很快就被證明是既相容又完全的。一階邏輯或稱謂詞邏輯是哥德爾在他的1929年的學位論文中證明為完全的。在整個1920年代，希爾伯特以及他的共同工作者的注意力都放在初等算術及其子系統上，一旦這一點解決了，就計劃轉移到更困難也更關鍵的實數理論和集合理論的場合。阿克爾曼和馮·諾依曼已經能夠對算術的某些子系統證明相容性。 但是在1928年到1930年，希爾伯特深信，整個算術的相容性已經得到證明。就在這時，受到了哥德爾的不完全性定理的沉重打擊。

用“形式主義”這個名稱來描述這個綱領，來自于希爾伯特的方法在于把每一個數學理論都形式化，并形式地研究它的證明的結構，然而，這個名稱相當片面其至有些混淆不清、特别是由于人們常把它與直覺主義對照着來看。直覺主義确實是一種成熟的數學哲學。但形式主義不然。希爾伯特和絕大多數數學家一樣、從來沒有把數學看成是用公式來玩的遊戲，他時常強調（非形式的）數學命題之富有含義，以及它們的概念的内容的深度。

哥德爾和留下的創傷

哥德爾的著名的1931年的論文在《數學與物理學月刊》上發表，給了希爾伯特綱領一個沉重而又深刻的打擊。元數學的一個極其聰明的發展——元數學的算術化——使得哥德爾能夠證明、如公理化集合論和戴德金——佩亞諾算術這樣的系統都是不完全的。就是說存在這樣的嚴格地使用該系統的語言來陳述的命題p，使得p與非p 都不能在該系統中形式地證明。

這個定理給希爾伯特的努力提出了一個深刻的問題，因為它表明了形式證明甚至不能把算術問題都囊括在内。但是還有更甚者，詳細地看一看哥德爾的論證就清楚了，這一個元數學的證明本身也可以形式化，這就引導到了"哥德爾第二定理"，用上述系統内的任意證明都不可能确立這個系統的相容性。哥德爾的元數學的算術化，使得可能用形式算術的語言來造出一個句子表示這一個系統的相容性，但這個句子恰好就在那些不能證明的句子之内。換一個角度來講，關于1=0之不可證明性的一個有窮形式證明，可以變成此系統中的矛盾！所以，即令此系統真是相容的，其相容性也不會有有窮的證明。

按照哥德爾當時所謂的“馮·諾依曼猜想”（即如果有相容性的有窮證明，則此證明必可在初等算術内形式化地寫出來），第二定理蘊含了希爾伯特綱領的失敗。需要強調的是哥德爾的否定的結果完全是構造性的，甚至是有窮的，對于辯論的各方都是有效的。它們很難消化，但是到頭來，引導到基礎研究的基本事項的重新确立。

由于有根岑類型的證明理論，以及模型理論的興起等，數理邏輯和基礎研究繼續光輝地發展，它們的基礎都在20世紀前三分之一的基礎研究中。雖然對于今天數學的絕大部分，策墨羅——弗朗克爾的公理系統已經足夠給出嚴格的基礎了，并且利用集合的"疊代"概念，已經有了相當能夠服人的直覺的論證，普遍的感覺是基礎研究并沒有達到自己雄心勃勃的目标，"而是發現自己已經被卷入數學活動的漩渦裡去了，現在在數學的元老院裡面有着完全的選舉權"。

然而，這個印象失之于過分表面化。證明論發展了，而在把經典理論化為可以認為是構造的系統方面得到了值得注意的化約方法。一個突出的例子是分析可以在算術的所謂保守擴張中形式化。 所謂保守擴張，就是說，它是算術的語言的擴張，其中包括了算術的所有定理；但又是"保守的"，就是說它在算術的語言上沒有任何新的結果。分析的有些部分甚至可以在原始遞歸算術的保守擴張中發展起來，這就對相關的構造主義理論的可容許性的哲學基礎何在提出了問題。但是對于這些系統，問題遠不如希爾伯特的有窮數學那麼簡單。說迄今還沒有一般的共識，似乎是公平的。

不論其根源何在，其存在的正當性的根據何在，數學總是一種人類的活動。這種說法的真實性可以從我們的故事後來的發展看得很清楚。數學社會拒絕放棄“經典的"思想和方法；構造主義的"革命"已經流産了。形式主義雖然有上述的失敗，在實踐中仍是20世紀數學所承認的意識形态。有人說。形式主義并不真是一種信仰，隻不過是有些人一周的六個工作日都把數學對象當作很真實的東西在做，而到了星期日就把形式主義當作一個避難所罷了。也如一位布爾巴基的成員說的那樣，什麼時候才會放棄工作日裡的柏拉圖主義？隻有在遇到關于數學知識的不受歡迎的哲學問題，需要一個現成的答案時才會放棄。

應該注意，形式主義很适合自覺的自治的做研究工作的數學家社會的需要。形式主義給他們以選擇研究主題的充分自由，給他們使用現代數學工具去探讨這些主題的充分自由。但是對于那些慣于反思的數學家，很久以來就明白，這不是答案。關于數學知識的認識論問題，并沒有"從世界上消除"；哲學家、曆史學家、認知科學家和其他人一直在尋找理解數學的内容與發展的更充分的途徑。不需要說這并沒有威脅研究數學的人的自治——如果真關心自治的話、或許更應該關心市場和其他力量對我們施加的壓力。

構造主義和現代數學二者都在發展，她們之間的對比簡單地就是固化了，雖然是一種很不平衡的對比，因為實際在做工作的數學家 99%是"現代"數學家，阿達瑪在評論1905年法國的辯論時說過“顯然有兩種關于數學的概念，有兩種心理狀況”。 現在應該認識到，兩種途徑各有其價值：它們是互補的，可以和平共存。

關于基礎的辯論，在思想和結果上，在關鍵的洞察和發展上，都留下了很豐富的遺産，包括公理化集合論和直覺主義的興起。最重要的發展之一是現代數理邏輯作為公理學的改進的發展，引導到遞歸和可計算性理論在1936年左右的發展。在這個過程中，我們對于形式系統的特征、可能和局限性的理解都大大澄清了。

在整個辯論中，最熱門的主題可能也就是這場辯論最主要的來源，就是怎樣理解連續統的概念。由于對康托的連續統假設的結果，更明确了這是一個迷宮似的問題，按照這個假設，實數集合的勢（cardinality）是第二個超限數N1，或者用等價的說法表述即是：R的每一個無窮子集合，或者雙射到N，或者雙射到R自身。1933年哥德爾證明了連續統假設與公理化集合論是相容的，而科恩在1963年又證明了連續統假設與這些公理是獨立的。

關于基礎的辯論，也以一種确定的方式、對于澄清現代數學的特殊風格和方法論有貢獻，特别是對于澄清現代數學的柏拉圖主義和存在特性有貢獻，它弄明白了現代數學的柏拉圖主義和存在特性，隻是一種方法論的特性，而不蘊含任何一種形而上學的存在性。現代數學是認為它的元素獨立于人類的有效的定義能力和構建能力，這樣來研究數學的結構的。這可能聽起來驚人，但是，說不定這個特性可以用科學思想更廣泛的特性來解釋，用數學結構在給科學現象建模的作用來解釋。

說到頭，這場辯論弄清楚了數學及其現代方法還被重要的哲學問題包圍着。很大一部分的數學知識可以認為是沒有問題的，定理可以得到确立，問題可以解決，而且都是确定無疑的。但是凡是想要把它們的本原展示出來，哲學問題就不可避免。

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