圖形與幾何問題一直是初中數學學習的重點和難點。在衆多幾何問題中，以圓為背景考查的試題則更具有綜合性。當圓與三角形、四邊形等圖形結合時還加入了圖形運動，衆多同學會感覺很困難，無從下手。下面結合例題對兩類動圓問題進行剖析。

一、看得見的圓在動，看不見的位置在變

例1．如圖，⊙O的半徑是5，點A是圓周上一定點，點B在⊙O上運動，且∠ABM＝30°，AC⊥BM，垂足為點C，連接OC，則OC的最小值是（　　）

【解析】如圖，設BM交⊙O于T，連接OT，OA，過點O作OH⊥AT于H，連接CH．

∵∠B＝30°，∴∠TOA＝60°，

∵OT＝OA，∴△OTA是等邊三角形，∴OT＝OA＝AT＝5，

本題考查圓周角定理，等邊三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．

例2．如圖，圓心為M的量角器的直徑的兩個端點A，B分别在x軸，y軸正半軸上（包括原點O），AB＝4．點P，Q分别在量角器60°，120°刻度線外端，連接MP．量角器從點A與點Q重合滑動至點Q與點O重合的過程中，線段MP掃過的面積為（　　）

【解析】：由題意可知，點M的運動軌迹是以O為圓心，2為半徑，圓心角為60°的扇形，點P在第四象限内時，∠AOB是弧AP所對的圓周角，所以∠AOP＝30°，點P在第二象限内時，∠BOP是弧BP所對的圓周角，所以∠BOP＝60°，所以點P的運動路徑是一條線段，

當量角器從點A與O重合滑動至點Q與點O重合時，MP掃過的圖形是如圖所示的陰影部分，它是由兩個邊長為2的等邊三角形與一個扇形組成，所以PM掃過的面積為：

本題考查了扇形的面積計算和等邊三角形的面積計算，正确分析出MP掃過的圖形并明确扇形的面積計算公式是解題的關鍵．

例3．如圖，⊙O的直徑AB＝10，弦BC＝2√5，點P是⊙O上的一動點（不與點A、B重合，且與點C分别位于直徑AB的異側），連接PA，PC，過點C作PC的垂線交PB的延長線于點D．

（1）求tan∠BPC的值；

（2）随着點P的運動，BD/AP的值是否會發生變化？若變化，請說明理由，若不變，則求出它的值；

（3）運動過程中，AP 2BP的最大值是多少？請你直接寫出它來．

【解答】：（1）連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，

（2）BD/AP的值不會發生變化，理由如下：

∵∠PCD＝∠ACB＝90°，∴∠1 ∠PCB＝∠2 ∠PCB，∴∠1＝∠2，

∵∠3是圓内接四邊形APBC的一個外角，∴∠3＝∠PAC，

本題是圓的綜合問題，解題的關鍵是掌握圓周角定理、相似三角形的判定與性質、圓内接四邊形的性質及三角函數的應用等知識點．

二、看不見的圓在動，看得見的形狀在變

例4．如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使點D在邊AC上，點E、F在邊AB上，點G在邊BC上．

小明的做法

1．如圖②，在邊AC上取一點D，過點D作DG∥AB交BC于點G．

2．以點D為圓心，DG長為半徑畫弧，交AB于點E．

3．在EB上截取EF＝ED，連接FG，則四邊形DEFG為所求作的菱形．

（1）證明小明所作的四邊形DEFG是菱形．

（2）小明進一步探索，發現可作出的菱形的個數随着點D的位置變化而變化……請你繼續探索，直接寫出菱形的個數及對應的CD的長的取值範圍．

【解析】（1）證明：∵DE＝DG，EF＝DE，∴DG＝EF，

∵DG∥EF，∴四邊形DEFG是平行四邊形，

∵DG＝DE，∴四邊形DEFG是菱形．

（2）如圖1中，當四邊形DEFG是正方形時，設正方形的邊長為x．

本題考查相似三角形的判定和性質，菱形的判定和性質，作圖﹣複雜作圖等知識，解題的關鍵是學會尋找特殊位置解決問題，屬于中考常考題型，題目有一定難度．

解決動态問題一般步驟：

（1）用數量來刻畫運動過程。因為在不同的運動階段，同一個量的數學表達方式會發生變化，所以需要分類讨論。有時符合試題要求的情況不止一種，這時也需要分類讨論。

（2）畫出符合題意的示意圖。

（3）根據試題的已知條件或者要求列出算式、方程或者數量間的關系式。

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