題記

宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學。

--華羅庚

大家好！我是小劉同學！

從今天開始，我要嘗試圍繞着一個主要知識點或是主要思想觀點，連續分享三道題目，而不是再像之前那樣一篇發文隻講一道數學題。

這裡我初步探讨總結出解數學幾何證明題的一般步驟，簡單說，我認為應當是這樣的三個環節：

（1）審題作圖，并在圖上把題目所給全部條件都标記出，方便直觀找尋它們之間的聯系和其它能推導出的條件；

（2）反向逆推法，即由題目所要求解的問題開始思考，反向推導出哪些内容是解決該問題所需要的一系列條件，而這些條件哪些又是題目已給出的，哪些又需要我進一步從已知條件中重新證明以獲得；

（3）正向論述解答，這與前一步在邏輯思考順序上正好相反，即我在實際書寫答題時，是要将解題的那一系列條件，分步一個個地給出來，不論它是題目已知的或是證明出的，就好像是搭積木一樣，最後人們看到的才是一個完整的形體。

以上步驟的主要思想邏輯，簡言之就是要在題目所求問題與其所給的已知條件間搭建起一座連接的橋梁，通過這座橋梁來找尋到最後的答案。而參與這項工程的我們，正是這座橋梁的設計建造師。

現在我結合具體題目來進行說明：

第一題

請看題：如圖，在△ABC中，線段CD平分∠ACB交線段AB于點D，過點D作線段DE平行BC交AC于點E。若∠A=54°，∠B=48°，則∠CDE的大小為多少？

這道題是很簡單的，隻是初學者一看到題目中這樣那樣的符号或代數，腦袋就早已經慌掉了。其實題目所給的已知條件越多，才越對我們解題有利，從這個角度說，題目越長才越好，心中應該竊喜，而不應該是恐慌。因為隻要将這些已知條件都一一放入圖中，題目裡費了那麼多數學符号和代數想要描述的整個面貌，就都将全部直觀呈現在我的眼前。不信您瞧！如下圖：

我們的解答過程是：如圖，在△ABC中，

首先因為∠A=54°，∠B=48°，這是題目已知的，所以根據“三角形的内角和為180°”，可知∠ABC是等于180°減去∠A和∠B，可算得∠ABC=180°-54°-48°=78°；

其次，題目已知CD平分∠ACB交AB于點D，所以根據三角形的角平分線定義，可知∠BCD與∠ACD是相等的，都是∠ACB的一半，即∠BCD=78°×½=39°；

最後又由于題目已知的DE平行BC，我們根據“兩直線平行，内錯角相等”可判斷出∠CDE=∠BCD=39°。

第二題

通過對第一題的學習，要記住：題目告訴你平行，就是在告訴你角的關系。所以說，告訴你什麼已知條件，你就要找出它們之間的所有相互關系，這樣才能找對正确的解題思路。

第一題的解題思路正是依據角的關系，那麼我們在第二題，就嘗試分别從角的關系和等量關系這兩個方向去解題。

請看題：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，∠B=30°，∠ADC=70°，則∠C的度數是多少？

我們再按照解幾何題三個環節的遞進順序，先審題作圖，如下：

①從角的關系

我們的解答過程是：如圖，在△ABC中，

因為題目已知∠ADC=70°，且我們知道平角的定義是一條射線繞它的端點旋轉半周，形成的角叫做平角，1平角=180°，那麼作為其補角的∠ADB也就是180°-70°=110°。

這時，又因為題目已知∠B=30°，我們再根據“三角形的内角和為180°”，得出∠BAD為180°-∠B-∠ADB=180°-30°-110°=40°。

接着，依據題目中AD平分∠BAC交BC于點D，也就是說AD是∠BAC的角平分線，可知∠CAD=∠BAD=40°。

最後，我們再依據題目所給的∠ADC=70°，用“三角形的内角和為180°”的規律，就可以得出∠C=180°-∠ADC-∠CAD=180°-70°-40°=70°。

如此一來，這道題就以相當簡單的方式解出了。不過，這看來也隻是在重複套用小學生都明白的三角形性質，請問還能有更高級的思路嗎？當然！

②從等量關系

我們的解答過程是：如圖，在△ABC中，

可以看出來的是，題目所要求的∠C，正是較大的△ABC與包含在其中的較小△ADC的公共角。那麼結合題意，就能根據兩個三角形之間的等量關系，運用設未知數X的辦法列出解題方程式，将圖形問題轉化成數學方程問題來解決。

依據題目中AD平分∠BAC交BC于點D，也就是說AD是∠BAC的角平分線，我們可設∠CAD=∠BAD=X；又知道∠B=30°，∠ADC=70°，用“三角形的内角和為180°”的規律，則可列出如下方程：180°-30°-2X=180°-70°-X，解得X=40°。

那麼到了這一步，我們同樣地，依據題目所給的∠ADC=70°，用“三角形的内角和為180°”的規律，得出∠C=180°-∠ADC-∠CAD=180°-70°-40°=70°。答案一緻！

第三題

作為結束，我們最後思考一道稍難的題目吧。

請看題：如圖，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中點，S△ABC=4cm²，則S△BEF等于多少？

我們發現在△ABC中的多個小三角形的特征是同底等高，如下圖：

我們的解答過程是：根據三角形的中線平分三角形的面積，得S△BCE=S△BDE S△CDE=½S△ABD ½S△ACD=½S△ABC=½×4cm²=2cm²，從而S△BEF=½S△BCE=½×2cm²=1cm²。

這道題不是恰如華羅庚所說：數無形時少直覺，形少數時難入微，數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。可見我初步探讨總結出的解數學幾何證明題一般步驟，是有指導意義的。

謝謝大家，下回再見！

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