【含義】這是古典的算術問題。已知籠子裡雞、兔共有多少隻頭和多少隻腳，求雞、兔各有多少隻的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。

【數量關系】

第一雞兔同籠問題：

①假設全都是雞，則有兔數

＝（實際腳數－2×雞兔總數）÷（4－2）

②假設全都是兔，則有雞數

＝（4×雞兔總數－實際腳數）÷（4－2）

第二雞兔同籠問題：

①假設全是雞，則有兔數＝（2×雞兔總數－雞與兔腳之差）÷（4＋2）

②假設全是兔，則有雞數＝（4×雞兔總數＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）

例1：雞和兔在一個籠子裡，共有35個頭，94隻腳，那麼雞有多少隻，兔有多少隻？

解：假設籠子裡全部都是雞，每隻雞有2隻腳，那麼一共應該有35×2=70（隻）腳，而實際有94隻腳，這多出來的腳就是把兔子當作雞多出來的，每隻兔子比雞多2隻腳，一共多了94-70=24（隻），則兔子有24÷2=12（隻），那麼雞有35-12=23（隻）。

例2：動物園裡有鴕鳥和長頸鹿共70隻，其中鴕鳥的腳比長頸鹿多80隻，那麼鴕鳥有多少隻，長頸鹿有多少隻？

解：假設全部都是鴕鳥，則一共有70×2=140（隻）

140-80=60（隻）

60÷6=10（隻）

鴕鳥：70-10=60（隻）。

例3：李阿姨的農場裡養了一批雞和兔，共有144條腿，如果雞數和兔數互換，那麼共有腿156條。雞和兔一共有多少隻？解：根據題意可得：

前後雞的總隻數=前後兔的總隻數。

把1隻雞和1隻兔子看做一組，共有6條腿。前後雞和兔的總腿數有144 156=300（條），所以共有300÷6=50（組），也就是雞和兔的總隻數有50隻。

例4：一次數學考試，隻有20道題。做對一題加5分，做錯一題倒扣3分（不做算錯）。樂樂這次考試得了84分，那麼樂樂做對了多少道題？

解：如果20題全部做對，應該得20×5=100（分），而實際得了84分，少了100-84=16（分）。做錯一題和做對一題之間，相差5 3=8（分），所以少了的16分，也就是做錯了16÷8=2（題）。一共20題，所以樂樂做對了20-2=18（題）。

順水速度=船速 水速（1）

逆水速度=船速-水速 （2）

水速=順水速度-船速 （3）

船速=順水速度-水速 （4）

水速=船速-逆水速度 （5）

船速=逆水速度 水速 （6）

船速=（順水速度 逆水速度）÷2 （7）

水速=（順水速度-逆水速度）÷2 （8）

例1：

一隻漁船順水行25千米，用了5小時，水流的速度是每小時1千米。此船在靜水中的速度是多少？（适于高年級程度）

解：此船的順水速度是：

25÷5=5（千米/小時）

因為“順水速度=船速 水速”，所以，此船在靜水中的速度是“順水速度-水速”。

5-1=4（千米/小時）

綜合算式：

25÷5-1=4（千米/小時）

答：此船在靜水中每小時行4千米。

例2：

一隻漁船在靜水中每小時航行4千米，逆水4小時航行12千米。水流的速度是每小時多少千米？（适于高年級程度）

解：此船在逆水中的速度是：

12÷4=3（千米/小時）

因為逆水速度=船速-水速，所以水速=船速-逆水速度，即：

4-3=1（千米/小時）

答：水流速度是每小時1千米。

例3：

一隻船，順水每小時行20千米，逆水每小時行12千米。這隻船在靜水中的速度和水流的速度各是多少？（适于高年級程度）

解：因為船在靜水中的速度=（順水速度 逆水速度）÷2，所以，這隻船在靜水中的速度是：

（20 12）÷2=16（千米/小時）

因為水流的速度=（順水速度-逆水速度）÷2，所以水流的速度是：

（20-12）÷2=4（千米/小時）

答略。

例4：

某船在靜水中每小時行18千米，水流速度是每小時2千米。此船從甲地逆水航行到乙地需要15小時。求甲、乙兩地的路程是多少千米？此船從乙地回到甲地需要多少小時？（适于高年級程度）

解：此船逆水航行的速度是：

18-2=16（千米/小時）

甲乙兩地的路程是：

16×15=240（千米）

此船順水航行的速度是：

18 2=20（千米/小時）

此船從乙地回到甲地需要的時間是：

240÷20=12（小時）

答略。

例5：

某船在靜水中的速度是每小時15千米，它從上遊甲港開往乙港共用8小時。已知水速為每小時3千米。此船從乙港返回甲港需要多少小時？（适于高年級程度）

解：此船順水的速度是：

15 3=18（千米/小時）

甲乙兩港之間的路程是：

18×8=144（千米）

此船逆水航行的速度是：

15-3=12（千米/小時）

此船從乙港返回甲港需要的時間是：

144÷12=12（小時）

綜合算式：

（15 3）×8÷（15-3）

=144÷12

=12（小時）

答略。

基本行程問題有如下公式：

速度×時間=路程

路程÷速度=時間

路程÷時間=速度

火車過橋的路程=橋長 火車長

〈1〉火車與火車相遇:

路程和=兩列火車長度之和

〈2〉火車追及追及：

路程差=兩列火車長度之和

【含義】按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。

解：1、本題考察的是植樹問題中的兩端都不栽的情況，解決此類問題的關鍵是要理解棵數比間隔數少1。

2、因為棵數比間隔數少1，所以共有8 1=9個間隔，每個間隔距離是72÷9=8米。

3、所以每兩棵樹之間的距離是8米。

分析（用類比思路探讨）：

　　有人會盲目地由倍數關系下結淪，誤認為10秒鐘敲完，那就完全錯了。其實此題隻要運用類比思路，與植樹問題聯系起來想一想就通了：一條線路植樹分成幾段（株距），如果不包括兩個端點，共需植（n-1）棵樹，如果包括兩個端點，共需植樹（n＋1）棵，把鐘點指數看作是一棵棵的樹，把敲的時間看作棵距，此題就迎刃而解了。

6.相遇／追及問題

例1：

從時針指向4點開始，再經過多少分鐘，時針正好與分鐘重合。

分析（用類比思路讨論）：

本題可以與行程問題進行類比。如圖2.11，如果用時針1小時所走的一格作為路程單位，那麼本題可以重新叙述為：已知分針與時針相距4格，分

如果分針與時針同時同向出發，問：分針過多少分鐘可追上時針？這樣就與行程問題中的追及問題相似了。4為距離差，速度差為，重合的時間，就是追上的時間。

7.牛吃草問題

解：1、本題考查的是牛吃草的問題，解決本題的關鍵是要求出每天新增加的草量，在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長出的草，其餘的牛吃原有的草。2、由題目可知：原有的草量 新長的草量=總的草量。奶牛除了要吃掉原有的草，也要吃掉新長的草。原有的草量是不變的。每天新長的草量是勻速的，每天都長6份，每頭奶牛每天吃1份，新長的草剛好夠6頭奶牛吃的量，那麼剩下的20頭奶牛吃的就是原有的草，每天吃20份，400÷20=20（天），夠吃20天。

解：設每台抽水機每天可抽1份水。5台抽水機20天抽水：5×20=100（份）6台抽水機15天抽水：6×15=90（份）每天入庫的水量：（100-90）÷（20-15）=2（份）原有的存水量：100-20×2=60（份）需抽水機台數：60÷6 2=12（台）答：要求6天抽幹，需要12台同樣的抽水機。

解：1、本題考查的是牛吃草的問題，“旅客”相當于“草”，檢票口相當于“牛”。

2、由題目可知，旅客總數由兩部分組成：一部分是開始檢票前已經排隊的原有旅客，另一部分是開始檢票後新來的旅客。設1個檢票口1分鐘檢票的人數為1份。那麼4個檢票口30分鐘檢票4×30=120（份），5個檢票口20分鐘檢票5×20=100（份），多花了10分鐘多檢了120-100=20（份），那麼每分鐘新增顧客數量為20÷10=2（份）。那麼原有顧客總量為：120-30×2=60（份）。同時打開7個檢票口，我們可以讓2個檢票口專門通過新來的顧客，其餘的5個檢票口通過原來的顧客，需要60÷5=12（分鐘）。

8.時鐘問題

【數量關系】分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為5.5度/分。通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。【解題思路和方法】将兩針重合，兩針垂直，兩針成一線，兩針夾角60°等為“追及問題”後可以直接利用公式。

解：1、此類題型可以把鐘面看成一個環形跑道，那麼本題就相當于行程問題中的追及問題，即分針與時針之間的路程差是240°。

2、分針每分鐘比時針多轉6°-0.5°=5.5°，所以需要240÷5.5≈44（分鐘）。也就是從8時開始，再經過44分鐘，時針正好與分針第一次重合。

解：我們可以把鐘面看成一個環形跑道，這樣分針和時針的轉動就可以轉化成追及問題，從早晨6點到傍晚6點，一共經過了12小時，12個小時分針要跑12圈，時針隻能跑1圈，分針比時針多跑12-1=11（圈），而分針每比時針多跑1圈，就會追上時針一次，也就是和時針重合1次，所以12小時内兩針一共重合了11次。

解：1、解決本題的關鍵是認識到時針與分針合走的路程是1080°，進而轉化成相遇問題來解決。

2、兩個多小時，分針與時針位置正好交換，所以分針與時針所走的路程和正好是三圈，也就是分針和時針合走了360°×3=1080°，而分針和時針每分鐘的合走6° 0.5°=6.5°，所以合走1080°需要1080÷6.5≈166（分鐘），即這部紀錄片時長166分鐘。

9.方陣問題

〈一〉基本公式：

1〉最外層人數：

①每邊人數×4－4

四個角上的多算一次，所以要減去4

②（每邊人數－1）×4

把最外圍正方形拆分成4段相同的部分，也可理解成環形植樹問題求段數。

2〉方陣總人數：每邊人數×每邊人數

〈二〉其它性質：

（1）相鄰兩層每邊人數相差2；

（2）相鄰兩層每層人數相差8.

解：2. （16－3）x 3 x 4＝ 180（枚）答：（略）

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