今天，數學世界仍然給大家分享一道初中數學幾何題，這道題難度較大，輔助線比較多，如何作輔助線是這一題的難點。解決此題的關鍵就是要靈活運用等腰直角三角形的性質，三角形外接圓的性質，以及勾股定理。下面，我們就一起來看這道例題吧！
例題：（初中奧數題）如圖，已知在三角形ABA’中，AB=BA’，BC平行AA’，∠ABA’是90度，∠ACA’是75度。求證：AC=AD。
分析：此題的條不多，圖形也比較簡單，但是想通過角的度數推出線段相等并不容易，特别是如何運用75度的角呢？三角形ABA’中，AB=BA’，∠ABA’是90度，可以得知三角形ABA’是等腰直角三角形，并不能與75度的角産生聯系，75度的角也不是特殊角，但是它的2倍是150度屬于特殊角，怎麼轉換呢？
我們回想一下，圓周角和圓心角就有這樣的關系，于是可以找到三角形ACA’外接圓的圓心O，連接OA、OA’、OB、OC，由等腰直角三角形“三線合一”的性質可以推出OB⊥BC，接下來作OH⊥BA’就可以求出就可以求出圓心O上各個角的度數，得到三角形AOC是正三角形，得到∠CA’A是30度，∠ADC是75度，到此即可得到結論。
證明：取三角形ACA’外接圓的圓心O，連接OA、OA’、OB、OC，
則有OA=OA’=OC，∠AOA’=2∠ACA’=150度，
∠OAA’=∠OA’A=15度，
∵AB=BA’，∠ABA’是90度，
∴三角形ABA’是等腰直角三角形，
∴OB平分∠ABA’，且OB⊥AA’，
∵BC平行AA’，
∴OB⊥BC，
過點O作OH⊥BA’于H，則三角形OHB是等腰直角三角形，
∵∠BA’A=45度，∠OA’A=15度，
∴∠OA’H=3O度，∠HOA’=6O度，
設OH=a，則OB=√2a，OA’=OC=2a,
在直角三角形OBC中，勾股定理得BC=√2a，
∴三角形OBC是等腰直角三角形，即∠BOC=45度，
∴∠AOC=360-150-60-45-45=60度
∴∠AA’C=30度（圓周角和圓心角的關系）
∴∠ADC=∠AA’C ∠A’AD=30 45=75度，
∵∠ACA’=75度，
∴AC=AD。
由于時間倉促，若文中出現一些小錯誤，還請大家諒解！鄭重聲明：這裡全部文章均由貓哥原創，“數學世界”專注小學和初中數學知識分享。若朋友們還有不明白的地方或者有更好的解題方法，歡迎留言參與讨論。
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