中線最長 其次角平分線,高最短
直角三角形中,斜邊最長,所以高最短不用證明。
現在證明中線AE≥角平分線AD。
當c=b時,DE重合,得證。
當c≠b時,不失一般性,根據圖,設b>c,則根據角平分線性質,BD=ac/(b c),CD=ab/(b c),BE=CE=a/2>BD,故E在D右側。即銳角∠BDA>∠BEA。由正弦定理 c/sin∠BDE=AD/sin∠ABC,c/sin∠BEA=AE/sin∠ABC,即AD*sin∠BDE=AE*sin∠ABC。得AD<AE。
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