數學培優——幾何最值問題的解法

在運動中求幾何量最大值或最小值的問題是各類考試中常見的問題，如何解決這類問題呢？下面介紹幾種解法：

一、利用圖形的直觀性

例1 如圖1，将兩張長為4，寬為L的矩形紙條交叉并旋轉，使重疊部分成為一個菱形．旋轉過程中，當兩張紙條垂直時，菱形周長的最小值是4，那麼菱形周長的最大值是____ ．

分析與解：要使菱形的周長最大，隻需要使邊長最大，因此，應最大限度利用矩形的長．從圖形的直觀性不難發現：當菱形的兩個對角的頂點分别與矩形兩個對角的頂點重合時，就是最大限度地利用了矩形的長，所得菱形的邊長最大．此時易知圖1－2中，

△ABC≌△EDC，所以AC＝CD，BC＝CE．

設BC＝x，則在RT△ABC中，AC＝AE－CE＝4－x，

根據勾股定理得：x²＝(4－x)²＋1，

解得x＝17/8，

所以菱形周長的最大值為4×17/8＝17/2．

友情提示：幾何的最大特征與優點是直觀，圖形的直觀性在解題中十分重要，細緻觀察圖形，想象在運動變化中圖形可能出現的情形往往能使問題的解決從“山窮水盡疑無路”困境中浮出，從而走向“柳暗花明又一村”，找到或者發現問題解決的契機與靈感．

二、利用兩點之間線段最短

例2 如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一個點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN＋∠ANM的度數為（ ）

A．130° B．120° C．110° D．100°

分析與解：欲求∠AMN＋∠ANM的度數，關鍵在于确定點M、N的位置．

由于M、N的位置使得△AMN周長最小，

即MA＋MN＋NA最小，

分别作點A關于BC的對稱點E，點A關于CD的對稱點F，

連接EF分别交BC于M，交CD于N．

則MA＝ME，NA＝NF，

從而△AMN的周長＝MA＋MN＋NA＝ME＋MN＋NF，

問題轉化為：分别在BC、CD上确定點M、N，

使得ME＋MN＋NF最小．

由于E、F是定點，當M、N都在直線E、F上時，

ME＋MN＋NF＝EF為最小，

因此，連接EF，分别交BC、CD于M、N，

這就是M、N的位置．

此時，∠MAE＝∠E，∠NAF＝∠F，

所以∠AMN＝2∠E，∠ANM＝2∠F，

所以∠AMN＋∠ANM＝2（∠E＋∠F）

＝2（180°－∠BAD）

＝2（180°－120°）＝120°．

選B．

友情提示：分别在直線L1、L2上求一點P、Q，使得以P、Q和定點A為頂點的△APQ的周長PA＋QA＋PQ最小，其做法是：尋找或作出點A關于直線L1和L2的對稱點A1和A2，連接A1A2，分别交直線L1、L2于點P、Q，則點P、Q就是所求作的點．

例3 如圖3，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點A、B分别在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A随之在OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝2，BC＝1，運動過程中，點D到點O的最大距離為_______.

分析與解：顯然，A、B、C、D都是動點，直接考慮DO的長與已知矩形ABCD的邊長的關系是不可能的．

由于矩形在運動過程中形狀不變，所以AB總是等于2，

注意到∠AOB＝90°，故AB的中點到O的距離總是等于AB/2＝1，

因此，取AB的中點E，連結OE、DE、OD，

則OE＝1（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），

由勾股定理，得DE＝√2，

從而DE＋EO＝√2＋1．

由于當D、E、O三點不在同一直線上時，總有DO＜DE＋OE，

故當D、E、O三點共線時，

OD＝OE＋DE為最大，等于√2＋1．

因此，當矩形運動到點D、AB的中點E和點O三點共線時，

點D到點O的距離最大，為√2＋1．

友情提示：對于任意三點A、B、C，總有AB≤BC＋CA，當A、B、C三點共線時，等号成立，AB取最大值．求動點到定點距離最大值問題往往就是根據這個原理．

三、利用垂線段最短

例4 以邊長為2的正方形的中心O為端點，引兩條相互垂直的射線，分别與正方形的邊交于A、B兩點，則線段AB的最小值是________．

分析與解：根據題意畫出如圖4，由題意，點A、B都是動點，

由勾股定理，得AB＝√(OA2 OB2)，

能否進一步轉化呢？

考慮已知條件，由四邊形CDEF為正方形，得

OC＝OD，∠OCA＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，

由∠AOB＝90°，得∠COA＝∠DOB，

所以△COA≌△DOB，

所以OA＝OB，△AOB為等腰直角三角形，

故可将AB進一步轉化為AB＝√2OA，

問題轉化為确定點A的位置，使得OA最小．

由于O是定點，A在定直線CD上，

所以當OA垂直于CD時，垂足就是點A的位置．

因此，作OA⊥CD于A，此時OA＝1，

從而AB＝√2，故線段AB的最小值為√2．

友情提示：直線上的動點到定點的距離最小值是該定點到該直線的垂線段長．

例5 如圖5，正方形ABCD中，AB=1，P是AC上的動點，則PA PB PD的最小值是__________.

分析與解：顯然，PB=PD，

所以PA PB PD

=PA 2PD=2(PA/2 PD)，

接下來設法将PA/2轉化為一條新的線段.作∠CAE=30°，CE交BC于E，作PF⊥AE于F.

則PF=PA/2，于是

PA PB PD =2(PF PD)≥2DF.

所以當DF⊥AE時，PA PB PD=2DF最小.

在RT△ADF中，∠DFA=90°，∠DAF=75°，AD=1，

由sin75°=sin(30° 45°)

=sin30°cos45° cos30°sin45°

=(√2 √3)/4，

所以DF=ADsin75°=(√2 √3)/4.

友情提示：幾何中的ax y（a為常數，x，y為圖中的動線段）最小值問題的解法，關鍵在于尋找與ax相等的線段z，将問題轉化為z y最小值問題.

四、利用平行距離最小

例6 已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3.

問題1：如圖6-1，P為AB邊上一點，以PD、PC為邊做平行四邊形PCQD，請問對角線PQ、DC的長能否相等，為什麼？

問題2：如圖6-2，P為AB邊上任意一點，以PD、PC為邊做平行四邊形PCQD，請問對角線PQ，的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由；

問題3：P為AB邊上任意一點，延長PD到E，使DE＝PD，以PE、PC為邊做平行四邊形PCQE，請探究對角線PQ，的長是否也存在最小值？若果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由；

問題4：如圖6-3，P為DC邊上任意一點，延長PA到E，使AE＝NPA,(N為常數)以PE、PB為邊做平行四邊形PBQE，請探究對角線PQ的長是否也存在最小值？若果存在，請直接寫出最小值；如果不存在，請說明理由．

分析與解：問題1：假設對角線能相等，即PQ＝CD，

則四邊形PCQD是矩形，

所以∠DPC＝90°，

因為AD＝1，AB＝2，BC＝3，

所以DC＝√[(3-1)2 22]＝2√2，

設PB＝x，則AP＝2－x，

在Rt△DPC中，PD2＋PC2＝DC2，

即x2＋32＋（2－x）2＋1＝8，

化簡得x2－2x＋3＝0，

因為△＝（－2）2－4×1×3＝－8＜0，

方程無實數根，所以對角線PQ、DC的長不可能相等；

問題2：顯然，PQ的長與點P的位置有關，要判斷PQ是否存在最小值，關鍵在于确定點Q在什麼線上運動？

過點Q作BC的垂線L，交BC延長線于點H．

則L∥AB．因為AD∥BC，

所以∠ADC＝∠DCH，

即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH，

因為PD∥CQ，所以∠PDC＝∠DCQ，

所以∠ADP＝∠QCH，又PD＝CQ，

所以RT△ADP≌RT△HCQ，

所以AD＝HC．

因為AD＝1，BC＝3，

所以BH＝4，

可見，直線L是定直線．由于點P、Q分别在距離為4個單位的兩條平行線上運動，

所以當PQ⊥AB時，PQ的長最小，為4；

問題3：類似問題2的探索．如圖/6-4，過Q作L⊥BC，垂足為H．

則L∥AB．設PQ與DC相交于點G．

仿照問題2可得∠ADP＝∠QCH，

所以RT△ADP∽RT△HCQ，

所以AD /GH=PD/CQ=1/2，

所以CH＝2，

所以L是定直線，BH＝BC＋CH＝3＋2＝5，

可見，點P、Q分别在距離為5個單位的兩條平行線上運動，

所以當PQ⊥AB時，PQ的長最小，為5；

問題4：仿照問題3的探索，易知PQ存在最小值，最小值為√2(n＋4)/2．

友情提示：平行距離指的是平行線之間的距離，該距離是分别在兩平行線上的動點之間距離的最小值．

五、利用二次函數的最值

例7 如圖7，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F為AD的中點，CE⊥AB于點E，設∠ABC＝α（60°≤α＜90°）．

（1）當＝60°時，求CE的長；

（2）當60°＜α＜90°時，

①是否存在正整數k，使得∠EFD＝k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由；

②連接CF，當CE2－CF2取最大值時，求tan∠DCF的值．

分析與解：（1）因為△BCE是直角三角形，且α＝60°，BC＝10，

故由勾股定理和三角函數立得BE＝BC/2＝5，

從而CE＝√(102-52)＝5√3；

（2）先設存在正整數k，使得∠EFD＝k∠AEF，再探索求k的值．

既然∠EFD是∠AEF的整數倍，先從∠EFD中割分出一個與∠AEF相等的角，

因此，作FM∥AB交BC于M，交CE于N，

則∠1＝∠AEF．

因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以四邊形ABMF是平行四邊形，

所以BM＝AF＝5，從而MC＝FD＝5，

四邊形MCDF是平行四邊形，又DF＝DC，

所以四邊形FMCD為菱形．

連接CF．則∠2＝∠3；

因為CE⊥AB，FM∥AB，M為BC的中點，

所以FM為EC的垂直平分線，

所以EF＝FC，∠2＝∠1，

所以∠EFD＝3∠1．

又∠AEF＝∠1，

所以∠EFD＝3∠AEF，故k＝3；

②欲求tan∠DCF的值，由于∠DCF ＝∠2，所以關鍵确定當CE2－CF2取最大值時，CN、FN的值．因此，問題轉化為CN或FN究竟為何時，CE2－CF2取最大值？為解決這個問題，考慮建立CE2－CF2關于某個變量為自變量的二次函數，再由二次函數的最值确定自變量的值．

因為MN為△CEB的中位線，

所以BE＝2MN．設MN＝x，

則BE＝2 x，FN＝5－x；

在Rt△EBC中，

CE2＝BC2-BE2＝100－4x2；

在Rt△FNC中，

CF2＝FN2＋NC2＝(5-x)2＋25－x2＝50－10x．

所以CE2－CF2＝（100－4x2）－（50－10x）

＝－4x2＋10x＋50＝－4(x-5/4)2＋225/4，

故當CE2－CF2取最大值時，x＝5/4，

所以CN=√[25-(5/4)2]=5√15/4，

FN＝5－5/4＝15/4，

所以tan∠FCD＝TAN∠2＝5√15/4÷15/4＝√15/3．

友情提示：二次函數取最大值或最小值時，自變量的取值是唯一确定的，因此，由函數取最大值或最小值的情形同樣可以确定自變量所對應的值．

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!