二元一次方程的解法：

定義：方程兩邊都是整式,含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的方程，叫做二元一次方程.使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解

你能區分這些方程嗎？

（二元一次方程）；

（一元一次方程）；

(一元二次方程）；

（二元二次方程）。

對二元一次方程概念的理解應注意以下幾點：

①等号兩邊的代數式是否是整式；

②在方程中“元”是指未知數，‘二元’是指方程中含有兩個未知數；

③未知數的項的次數都是1，實際上是指方程中最高次項的次數為1，在此可與多項式的次數進行比較理解，切不可理解為兩個未知數的次數都是1.

解

使二元一次方程兩邊相等的一組未知數的值，叫做二元一次方程的一個解.

對二元一次方程的解的理解應注意以下幾點：

①一般地，一個二元一次方程的解有無數個，且每一個解都是指一對數值，而不是指單獨的一個未知數的值；

②二元一次方程的一個解是指使方程左右兩邊相等的一對未知數的值；反過來，如果一組數值能使二元一次方程左右兩邊相等，那麼這一組數值就是方程的解；

③在求二元一次方程的解時，通常的做法是用一個未知數把另一個未知數表示出來，然後給定這個未知數一個值，相應地得到另一個未知數的值，這樣可求得二元一次方程的一個解.

注意點

（1）二元一次方程組：由兩個二元一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組.

（2）二元一次方程組的解：二元一次方程組中兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

對二元一次方程組的理解應注意：

①方程組各方程中，相同的字母必須代表同一數量，否則不能将兩個方程合在一起.

②怎樣檢驗一組數值是不是某個二元一次方程組的解，常用的方法如下：将這組數值分别代入方程組中的每個方程，隻有當這組數值滿足其中的所有方程時，才能說這組數值是此方程組的解，否則，如果這組數值不滿足其中任一個方程，那麼它就不是此方程組的解.

常用解法

編輯

代入消元法

（1）概念：将方程組中一個方程的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，代入另一個方程中，消去一個未知數，得到一個一元一次方程，最後求得方程組的解. 這種解方程組的方法叫做代入消元法，簡稱代入法.

（2）代入法解二元一次方程組的步驟

①選取一個系數較簡單的二元一次方程變形，用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數；

②将變形後的方程代入另一個方程中，消去一個未知數，得到一個一元一次方程（在代入時，要注意不能代入原方程，隻能代入另一個沒有變形的方程中，以達到消元的目的. ）；

③解這個一元一次方程，求出未知數的值；

④将求得的未知數的值代入①中變形後的方程中，

求出另一個未知數的值；

⑤用“{”聯立兩個未知數的值，就是方程組的解；

⑥最後檢驗（代入原方程組中進行檢驗，方程是否滿足左邊=右邊）.

例

把第一個方程稱為①，第二個方程稱為②

由①得

③

③代入②得

把

代入③

得

則：這個二元一次方程組的解

加減消元法

（1）概念：當方程中兩個方程的某一未知數的系數相等或互為相反數時，把這兩個方程的兩邊相加或相減來消去這個未知數，從而将二元一次方程化為一元一次方程，最後求得方程組的解，這種解方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加減法.

（2）加減法解二元一次方程組的步驟

①利用等式的基本性質，将原方程組中某個未知數的系數化成相等或相反數的形式；

②再利用等式的基本性質将變形後的兩個方程相加或相減，消去一個未知數，得到一個一元一次方程（一定要将方程的兩邊都乘以同一個數，切忌隻乘以一邊，然後若未知數系數相等則用減法，若未知數系數互為相反數，則用加法）；

③解這個一元一次方程，求出未知數的值；

④将求得的未知數的值代入原方程組中的任何一個方程中，

求出另一個未知數的值；

⑤用“{”聯立兩個未知數的值，就是方程組的解

；

⑥最後檢驗求得的結果是否正确（代入原方程組中進行檢驗，方程是否滿足左邊=右邊）。

如：

把第一個方程稱為①，第二個方程稱為②

①

得到③

③-②得：

再把

代入①.②或③中求出x的值

解之得:

重點難點

本節重點内容是二元一次方程組的概念以及如何用代入法和加減法解二元一次方程組，難點是根據方程的具體形式選擇合适的解法。

方程的解

編輯

使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的一組值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程組的兩個公共解，叫做一組二元一次方程組的解。

二元一次方程有無數個解，除非題目中有特殊條件。

但二元一次方程組隻有唯一的一組解，即x,y的值隻有一個。也有特殊的，例如無數個解：

無解：

擴展解法

編輯

順序消元法

“消元”是解二元一次方程的基本思路。所謂“消元”就是減少未知數的個數，使多元方程最終轉化為一元方程再解出未知數。這種将方程組中的未知數個數由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。如:5x 6y=7 2x 3y=4,變為5x 6y=7 4x 6y=8

具體方法

代入消元法（常用，方法參見2.1）

加減消元法（常用，方法參見2.2）

順序消元法（常用于計算機中，方法下述）

順序消元法

設一 二元一次方程組

，

若

，則

得（3）式：

若（3）式中的

則可求出求根公式：

二元一次方程組求根公式

以上過程稱為“順序消元法”，對于多元方程組，求解原理相同。

因為在求解過程中隻有數之間的運算，而沒有整個式子的運算，因此這種方法被廣泛地用于計算機中。

換元法

解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，将問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非标準型問題标準化、複雜問題簡單化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯系起來，隐含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來。或者變為熟悉的形式，把複雜的計算和推證簡化。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函數、數列、三角等問題中有廣泛的應用。

比如

解：設

為a，

為b

則，原方程式變為

解得：

由此：

方程組的解為：

設參數法

解：令

,

則方程②可寫為：

→

→

所以

,

二元一次方程組推導過程：

在最後式中隻有一個y未知數，求出y值(y=?)，再代入a1x b1y=k1;求出X。例題：

y=(2-3/4×0)/(1-3/4*×)=2/(-1/2)=-43x-4=2或4x-8=0 x=2推導簡易方程：

方程=0；未知數0；1

圖像法

二元一次方程組還可以用做圖像的方法，即将相應二元一次方程改寫成一次函數的表達式在同坐标系内畫出圖像，兩條直線的交點坐标即二元一次方程組的解。

解向量法

今有一二元一次方程組

①

設矩陣A=

，向量

和

，根據矩陣和向量的乘積定義，再對比方程組可知有以下關系：

②

我們把②稱作方程組①的矩陣形式

而矩陣A可看做是一次線性變換p，即把向量

按照線性變換p變換之後得到向量

。因此解方程的過程可看做是尋找一個向量

，使它經過線性變換p之後得到

。因為這是尋找一個向量的過程，所以又可以稱之為解向量。

從直觀上來理解上面那句話。例如把一個向量a逆時針旋轉30°得到一個新的向量b，那麼把b順時針旋轉30°之後，一定可以得到a。再比如把一個向量a的橫縱坐标都擴大n倍之後得到向量b，那麼把b的橫縱坐标都縮小n倍之後，一定也可以得到a。因此，在已知b以及線性變換關系的情況下求出的a就是方程的解。

矩陣A和它的逆矩陣

對應的線性變換互逆，所以解向量的過程相當于是尋找矩陣

的逆矩陣。而根據矩陣的性質，一個矩陣

有逆矩陣的充要條件是二階行列式

。所以，方程組有解的充要條件就是ad-bc≠0.

根據逆矩陣的求法，

的逆矩陣

即方程組的解為

該方法亦可作為二元一次方程組的求根公式。（前提是

！）

例題

用解向量法解二元一次方程組

此題中，

，

，

，

，

，

，

∴方程組有解，解為

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