最近，小編在公司接手了一個項目，涉及随機過程和馬可夫鍊。這幾天，文獻、博客看了很多相關内容。這篇文章我們主要闡述一下随機過程和馬可夫鍊。

小編之前面試銀行，被問過一道面試題，題幹如下：

一個醉漢的家離懸崖有10米遠。一天，醉漢站在了離家6米遠的地方，身後4米既是懸崖。每次醉漢都會随機的往家的方向或者往懸崖的方向走一米，往前往後概率均為50%。最後，醉漢墜崖的概率是多少呢？

大家先思考一下這個問題，我們先講講随機過程和馬可夫鍊。

醉漢

随機過程

在概率論概念中，随機過程是随機變量的集合。 ------ 維基百科

維基百科固然很好，但是有很多概念說的太不具體，有時候讓人很難理解。

舉個例子：

擲骰子、投硬币都是随機事件。比如擲骰子，1到6點。每次擲骰子，每個面是随機出現的（假設篩子沒有被做過手腳）。那麼，當我們每次追篩子的時候，就會産生一個随機變量X。我們不停的擲骰子，就會産生一系列的随機變量，X1, X2 ... Xn。而這些随機變量序列的集合，便組成了一個随機過程。

随機過程

馬可夫鍊

前面介紹的随機過程，每一次擲骰子都是獨立存在的。也就是說，我現在擲骰子的行為和點數和之前之後擲篩子都沒關系。每次抛擲的結果相互獨立。

但是現實中，真正的随機變量之間，往往存在着互相依賴的關系。

馬可夫鍊 - 熊市、牛市和平穩市場

我們已股票市場舉例，牛市、熊市和之間的平穩市場都不會突然來臨和随機變換。比如這周是牛市，突然下周就變成熊市，再下周又牛市了。這種頻繁突變基本不可能出現。今天是牛市，大多數情況下，明天還是處在牛市之中。

什麼是馬可夫鍊呢？

馬爾科夫鍊是一個随機過程，同時馬爾科夫鍊的記憶類似于“金魚的記憶隻有3秒”，非常的健忘。

1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6

比如說，你現在站在5對6 進行預測，根據馬爾科夫鍊，6的狀态隻和5有關，而前面1到2, 2到3, 3到4，4到5的整個過程無關。

馬爾科夫鍊認為 過去所有的信息都被保存在了現在的狀态下了。

馬可夫鍊 - 熊市、牛市和平穩市場

從上面股市圖中，假如今天是牛市（Bull Market），那麼明天依舊是牛市的概率是0.9，是熊市（Bear Market）的概率是0.075，是平穩市場的概率是0.025。這樣就形成了三種市場相互依賴、相互轉變的随機過程 - 馬可夫過程。

馬可夫鍊應用

股市随機過程

理解馬可夫鍊，首先要明确整個過程有幾種狀态，如股市随機過程中存在三種狀态：‘Bull Market’, ‘Bear Market’和‘Stagnant Market’。而各個狀态之間的相互轉變概率如上圖所示。注意，每一行的概率之和都為1。

各個狀态之間的轉變關系表一般叫做過渡矩陣（Transition Matrix）。

其次要明确的是現在的狀态。因為馬可夫随機過程所有的信息都存在于當前狀态中。

假設，我們現在身處熊市。那麼，怎麼用向量表示呢？

當前狀态 = [0, 1, 0]. 從左到右依次為牛市、熊市和平穩市場。1表示處在該狀态。

那麼，明天的狀态就可以通過矩陣相乘：當前狀态 * 過度矩陣。

明天有1.5%的可能性為牛市，80%概率是熊市，5%的概率是平穩市場。

如果我們需要預測100天之後市場的情況，隻需要将當前狀态 乘以 100次過渡矩陣。

具體代碼如下：定義一個遞歸函數f_func

那麼，100天後市場有62.5%是牛市，31.25%是熊市，6.25%是平穩市場。

醉漢墜崖問題計算

第一步：整個過程有11個狀态，0（墜崖），1,2,3，..., 10（家裡）；

第二步：當前狀态，醉漢站在4的位置上，[0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

第三部：過渡矩陣：

過渡矩陣

怎麼去理解這個過渡矩陣呢？比如：

第一行，0行。當前狀态即為0，由于已經墜崖，醉漢不可能爬上來，那麼醉漢會永遠處于0的狀态，也就是概率為1。0到其他狀态的概率為0。

第二行，1行。當前狀态為1，醉漢往前和往後的概率都是50%。也就是說下一個狀态是0或者2的概率為0.5，其他狀态為0.

依次類推。。。

如果想知道最終醉漢到家或者墜崖的概率分别為多少的話？同樣可以使用上面的遞歸函數f_func将當前狀态同過渡矩陣乘1000次或者更多。

醉漢墜崖

1000次後，醉漢墜崖概率是60%，而到家的概率是40%。

總結

馬可夫随機過程和馬可夫鍊在金融、生物等都有着很廣泛的應用。有興趣的朋友可以自行閱讀專業文章。

大家有沒有發現，醉漢離家6米，離懸崖4米，懸崖離家10米。而墜崖的概率是60% = 6 /10，而回家的概率是40% = 4/10。

原來結果可以直接以距離的商計算出來。這個是可以通過公式推導出來的，有興趣的朋友可以自行理解推導。推導的關鍵在于當前狀态和下一狀态直接的關系推導。

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