#頭條創作挑戰賽#

單調數列要麼沒有聚點，如果有，就隻有唯一的聚點。這一點看起來似乎是毋庸置疑的。但是你能證明嗎？并且能不能推出它的其它重要的性質呢？比如證明這個聚點就是數列的确界呢？

證明：單調數列{xn}若存在聚點，必是唯一的，且是{xn}的确界.

不防設這是一個遞增的數列，遞減數列同理。下面老黃要分成四步來證明這個問題。

(1)證明任何小于已知聚點的點，都不是數列的聚點。

證：(1)設遞增數列{xn}的聚點ξ，任給實數a<ξ，取ε1=(ξ-a)/2>0, 【取ε是一個技術活，這樣取是為了使ξ的鄰域和a的鄰域沒有交集。由于這裡實質是運用反證法，證明a不是聚點，所以隻需取一個具體的ε1就可以了，不需要任取ε】

由聚點定義，U(ξ,ε1)中含有{xn}無限多個項，設xN∈U(ξ,ε1)，

由{xn}的增性，當n≥N時，xn≥xN，【落在ξ的鄰域的點就不在a的鄰域上，即有無限多項落在U(ξ,ε1)上，就有無限多項不落在U(a,ε1)上，因為兩個鄰域的交集是空集嘛】

∴U(a,ε1)中最多含有{xn}的有限多個項：x1,x2,…,x_(N-1)，【雖然有無限多項不落在a的鄰域上，不能說明就隻有有限多個項落在a的鄰域上。但很明顯的，隻有這些點才有可能落在a的鄰域上，而這些點就是有限多個的，即最多隻有N-1個項在U(a,ε1)上，不符合a是聚點的定義】

∴a不可能是{xn}的聚點.

(2)再證任意比已知聚點大的點，也不是聚點。結合(1)就可以說明聚點的唯一性了。教材說“同理可證”。老黃要說“同理你個頭啊”。這根本不可能同理得證的好不好！老黃換一種方法，直接利用(1)的結論來反證。

(2)任給實數a>ξ時，若a是{xn}的聚點；

由(1)可推出ξ不可能是{xn}的聚點. 矛盾！

∴a不可能是{xn}的聚點.

即ξ是{xn}唯一的聚點.

(3)接下來分兩步證明這個聚點是單調數列{xn}的确界。先證聚點是上界。

若存在xN>ξ，取ε2=xN-ξ>0，則【這個ε2取得也是相當好的，因為比xN大的項，比如x_(N 1)明顯就不在這個鄰域上了】

在U(ξ,ε2)内最多有{xn}的有限多個項： x1,x2,…,x_(N-1)，與聚點定義矛盾.

∴ξ是{xn}的上界. 【即數列中不存在比ξ大的項】

(4)再證這個聚點是單調數列的上确界。

(4)對任給的正數ε，存在xn∈U(ξ,ε)，即xn>ξ-ε，【即任意小于ξ的數都不是數列的上界，這就是上确界的定義】

∴ξ是{xn}的上确界.

同理，遞減數列{xn}若存在聚點，必是唯一的，且是{xn}的下确界.

其實，根據“單調有原理”，直接就可以得到單調數列有聚點則必唯一的結論了。因為單調有界就有極限，而極限隻能是唯一的聚點。如果有其它聚點，那麼就不存在極限。隻能有不等的上極限和下極限。盡管如此，上面的證明也并非沒有意義的。看懂了，學會了，就會對聚點有更深刻的認識了。

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