本文介紹柯西不等式，并分享柯西不等式一般形式的 11 種常見的證明方法。本文适合高中學曆的讀者。
在數學中，柯西不等式（Cauchy-Schwarz inequality）在線性代數、數學分析、概率論等領域中都是非常有用的不等式，它被認為是數學中最重要的不等式之一。柯西不等式的一般形式如下陳述：
特别地，當 n = 2 時，我們可以得到柯西不等式的二維形式：
等号成立條件為 ad = bc. 不難看出它其實可由下面恒等式得到：
柯西不等式的積分形式如下陳述：
下面分享柯西不等式一般形式的 11 種常見證明方法。
證法 1：（判别式）
證法 2：（作差比較）
證法 3：（均值不等式）
證法 4：（均值不等式）
證法 5：（均值不等式）
證法 6：（向量）
證法 7：（數學歸納法）
證法 8：（數學期望）
證法 9：（排序不等式）
證法 10：（數列）
證法 11：（積分形式推一般形式）
本文實際上是對柯西不等式各種常見證明的彙總，供讀者參考。作者發現許多資料或參考書上給出的柯西不等式等号成立條件都存在漏洞，漏洞主要來源于分母不能等于 0，并且很多資料給出的證明都回避了對等号成立條件的讨論，事實上對于有些項是 0 的情況的讨論是很麻煩的。本文給出的證明很詳細地讨論了各種等号成立條件，其中包含對有些項是 0 的情況的讨論，并且對各種證明進行了論述上的少量修改，希望對大家有幫助。
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