這道中考數學壓軸題，涉及到抛物線的平移，三角形的最大面積，以及抛物線上的平行四邊形的存在性問題。每一個問題，老黃都要用最簡便的方法，給大家演示一下解法。

将抛物線y=ax^2(a≠0)向左平移1個單位，再向上平移4個單位後，得到抛物線H:y=a(x-h)^2 k.抛物線H與x軸交于點A，B, 與y軸交于點C. 已知A(-3,0),點P是抛物線H上的一個動點.

(1)求抛物線H的表達式；

(2)如圖1，點P在線段AC上方的抛物線H上運動（不與A，C重合），過點P作PD⊥AB，垂足為D，PD交AC于點E. 作PF⊥AC，垂足為F，求△PEF的面積的最大值；

(3)如圖2，點Q是抛物線H的對稱軸l上的一個動點，在抛物線H上，是否存在點P，使得以點A，P，C，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐标；若不存在，說明理由.

分析：(1)直接求H的解析式，不如把A點平移回去，代入原抛物線解析式，求a值那麼簡便。

(2)主要利用三角形PEF和三角形ACO相似，三角形ACO的面積一定，所以PE越大，相似比越大，三角形PEF的面積就越大。PE最大時，三角形PEF的面積就最大。這樣解會簡便得多。

(3)分成兩種情況，三種情形。一種情況是PQ為對角線時，利用PQ的中點就是AC的中點求P點的坐标，非常簡捷。一種情況是PQ為邊時，又分成P點在對稱軸兩側兩種情形。利用平行四邊形對邊兩個端點的橫坐标差相等來求，也特别簡捷。本來對邊兩個端點的縱坐标差也必須是相等的，但Q點的縱坐标可取任意值，所以縱坐标方面是一定能滿足的，并不需要特别申明。

下面組織解題過程：

解：(1)平移前A點的位置為(-2,-4),

-4=4a, a=-1,

抛物線H的表達式為：y=-(x 1)^2 4.

(2)C(0,3), 直線AC的解析式為：y=x 3,

AC=根号(OA^2 OC^2)=3根号2.

設P(p,-(p 1)^2 4), 則E(p,p 3),

PE=-(p 1)^2 4-(p 3)=-(p 3/2)^2 9/4.

當p=-3/2時, PE=9/4最大.

又△PEF∽△ACO, 且PE/AC=3根号2/8.

∴S△PEF=9S△ACO /32=9OA·OC/64=81/64最大.

(3)可設Q(-1,q), 當PQ是平行四邊形APCQ的對角線時, PQ的中點坐标為(-1.5,1.5),

p-1=-3，解得p=-2，-(p 1)^2 4=3，

當PQ是平行四邊形ACPQ的邊時，p=-1-(-3)=2，-(p 1)^2 4=-5，

當PQ是平行四邊形ACQP的邊時，-3-p=-(-1)，解得p=-4, -(p 1)^2 4=-5，

∴P(-2,3)或(2,-5)或(-4,-5).

這類壓軸題型在中考數學中出現的概率是很高的。掌握了這些簡便的解決方法，對中考數學是非常有幫助的。

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