直線與橢圓相交兩交點的弦長公式-tft每日頭條

直線與橢圓相交兩交點的弦長公式

生活更新时间:2025-02-05 17:51:07

橢圓與直線相交

設直線點斜式方程為y=kx m，橢圓方程為

直線與橢圓相交兩交點的弦長公式（橢圓與直線相交的弦長求解）1

如果直線與橢圓有交點，交點既在橢圓上也在直線上，那麼想要求交點坐标，可解下列方程組

直線與橢圓相交兩交點的弦長公式（橢圓與直線相交的弦長求解）2

方程組消去y後，可得到關于x的一元二次方程

直線與橢圓相交兩交點的弦長公式（橢圓與直線相交的弦長求解）3

如果方程無實數解，那麼直線與橢圓沒有交點，此時直線在橢圓外；如果方程有兩個相同的實數解，那麼直線與橢圓相切；如果方程有兩個不同的實數解，那麼直線與橢圓相交。

直線與橢圓相交兩交點的弦長公式（橢圓與直線相交的弦長求解）4

求橢圓的弦長

假設直線與橢圓相交，交點為(x1,y1)和(x2,y2)，有時候我們并不關心交點坐标，但是想求出兩個交點之間的距離(弦長)，不用求出交點坐标也有辦法。

弦長用交點坐标表示為

直線與橢圓相交兩交點的弦長公式（橢圓與直線相交的弦長求解）5

交點在直線上，那麼可将y用x表示

直線與橢圓相交兩交點的弦長公式（橢圓與直線相交的弦長求解）6

那麼，弦長可表示為

直線與橢圓相交兩交點的弦長公式（橢圓與直線相交的弦長求解）7

由一元二次方程的根與系數的關系(韋達定理)，可求出兩根之和、兩根之積，進而可求出弦長，現推導如下

直線與橢圓相交兩交點的弦長公式（橢圓與直線相交的弦長求解）8

特殊情況，當直線經過橢圓焦點時，有下列等式成立

直線與橢圓相交兩交點的弦長公式（橢圓與直線相交的弦長求解）9

那麼繼續化簡

直線與橢圓相交兩交點的弦長公式（橢圓與直線相交的弦長求解）10

過焦點的弦長為

直線與橢圓相交兩交點的弦長公式（橢圓與直線相交的弦長求解）11

本文由小朱與數學原創，歡迎關注，帶你一起長知識！

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