昨天寫了一篇文章，太神奇了，所有自然數之和為-1/12，我證明給你看。很多小夥伴留言：老胡你真是胡說科學、混淆視聽、怎麼可能、邏輯錯誤……同學們都很厲害，但是大家比較謙虛，很少能說出問題的關鍵，這裡涉及到一個非常著名的數學猜想：黎曼猜想，和一個數學概念：解析延拓！廢話少說，進入正題！
可以說，如今純數學中最重要的未解決的證明就是黎曼假設了，該假設與素數的分布密切相關。理解這個問題所需的基本技術之一稱為解析延拓，這是本文的主題。解析延拓是一種來自于數學分支複分析的技術，用于擴展複解析函數的定義域。
一些重要的數學概念
在介紹這項技術之前，我将簡要地解釋一些重要的數學概念。
泰勒級數
假設我們想求某個函數f(x)的多項式近似。多項式是由變量和系數構成的數學表達式。它們涉及基本操作(加法、減法和乘法)，并且隻包含變量的非負整數指數。一個n次變量x的多項式可以寫成：
現在假設多項式有一個無窮大的次數(它是由無限項的和給出的)。這種多項式稱為泰勒級數(或泰勒展開)。泰勒級數是函數的無限項和的多項式表示。級數的每一項都是由f(x)在一個點上的導數值，關于點a處的泰勒級數的形式為：
其中上标(0)、(1)…表示f(x)的導數在x=a時的階數。人們可以使用一個多項式來近似一個函數，而該多項式對應的泰勒級數的項數是有限的。這種多項式叫做泰勒多項式。在下面的圖中，函數f(x) = sin x的幾個泰勒多項式被顯示出來。
f(x) = sinx的前四個泰勒多項式由：
收斂
無窮級數收斂的概念在我們讨論解析延拓時也将是至關重要的。數學序列是具有特定順序的元素(或對象)列表。它們可以表示如下：
一個衆所周知的級數例子就是斐波那契數列0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，其中每個數字都是前兩個數字的和。
人們通過對一個序列的部分元素求和來構建一個序列。部分和的級數可以表示為：
這裡：
下面是一個級數的例子，即我們熟悉的幾何級數。在幾何級數中，連續元素之間的公比是常數。對于比率等于1/2，我們有：
從圖5可以看出，上面的幾何級數收斂到最大正方形面積的兩倍。
如果部分和的序列式5趨近于某個有限極限，則如式6所示的級數是收斂的。否則，這個級數就是發散的。收斂級數的一個例子是式7中的幾何級數。發散級數的一個例子是：
很容易看出，調和級數與曲線y=1/x的積分相比是發散的。見圖7。由于曲線下方的面積完全包含在矩形内，且y=1/x下方的面積為：
矩形的總面積也必須是無窮大的。
幾何級數通常是給定變量x的連續幂的和(見圖5)。更具體地說，考慮如下的幾何級數，其中第一項為1，公比為x:
求出這個和的封閉形式并不難。兩邊都乘以x
兩個方程相減。大多數項約掉了，剩下：
如果|x|<1，取x→∞，則和式的分子第一項趨于0，得到：
現在讓我們看看當我們令x=2時發生了什麼，它在級數式13的收斂區間之外。我們得到：
我們得到一個算術上無效的和。這再次表明，将函數與無窮級數方程13聯系起來隻适用于變量x的有限範圍。
複數：解析函數、極點和收斂圓盤
到目前為止，我們的分析僅限于實數。現在我們把它推廣到複數。複平面是複數的幾何表示，如圖7所示。
我們來考慮解析複函數f(z)的展開式。根據定義，解析函數是由收斂幂級數局部給出的函數。如果f (z)是分析z₀,幂級數：
在類比的情況下幾何級數,收斂僅限于一個實線區間半徑為1,本系列隻集中在複平面的一個圓形區域集中在複數z₀。
f (z)的收斂區域是一個圓形區域集中在z₀擴展到最接近,f (z)→∞。圖9顯示了收斂區域的白色圓)(有界函數1 / (1 z²)。
一個複雜函數包含兩極的另一個例子是γ函數的絕對值|Γ(z) | 圖10所示。函數由：
圖中顯示的兩個點|Γ(z) |由于兩極的存在變得無限。最終，當向右移動時，函數不會出現更多的極點，它隻會增加。
一個更強的收斂準則叫做絕對收斂。我們稱之為收斂我們已經讨論過條件收斂。當下列級數收斂時，出現絕對收斂：
當一個級數是絕對收斂的，它也是有條件收斂的。絕對收斂性的檢驗有幾種，其中之一是比值檢驗。考慮到系列：
現在定義以下比例：
級數式18在r<1時絕對收斂，在r>1時發散。如果r=1，則不能得出結論。
使用比值檢驗(或任何其他收斂檢驗)來顯示以下重要結果是很簡單的：
現在讓我們最後研究解析延拓技術，這是本文的主要主題!
解析延拓
從介紹中我們已經知道，解析延拓是一種擴展解析函數域的技術。我們現在可以更正式地定義它如下。假設f(z)在區域R上是解析的，現在假設R包含在S中，如果存在g(z)這樣的函數，f(z)可以解析地從R繼續到S：
解析延續過程的另一個重要特性是它是惟一的。
一個示例将使這個定義更加清晰(本節主要基于這個分析)。我們從函數的展開開始
它在z=1處有一個極點。相應的收斂圓盤如下圖所示：
我們可以把方程21所給的函數展開到函數及其導數表現良好的任意點上。例如，令z = 2。為了擴展圍繞它的級數，我們需要評估z₀ = 2時f（z）的導數。
将這些導數代入幂級數方程15，得到：
用z₀= 2，我們得到：
假設我們不知道某個函數f(z)的閉式表達式，但我們隻知道它在複平面上某個區域的幂級數。讓這樣的幂級數
我們已經知道，這個級數隻收斂于模小于1的複數。讓我們看看如何确定這個函數的值在任何z(除了極點在z=1)使用解析延拓。為此，考慮下面的圖14：
我們可以在收斂盤| z | <1内的任意點計算函數f（z）及其導數。因此，我們可以選擇某個點，例如z₀（如圖所示），并确定f（z z）的幂級數。該幂級數将在以z 為中心的圓盤内收斂，并延伸到z = 1 處的最近極點（見圖14）。因此，我們得出的結論是，我們可以在原始幂級數的收斂區域之外的複數值上評估函數。
下一步是不言而喻的。參見圖14。一旦我們評估了f（z z₀）的幂級數，就可以使用相同的過程，并選擇位于新收斂區域内的另一個點z₁。然後，我們确定f（z z₁）的幂級數展開，它将在以z₁為中心的新圓形區域内收斂（與以前一樣，該圓形區域延伸到最接近的極點z = 1）。
繼續這個過程，一個人可以分析地擴展函數通過整個複雜平面，不包括函數的極點！
解析延拓的一個應用：黎曼假設
格奧爾格·弗裡德裡希·伯恩哈德·黎曼是一位德國數學家，被許多人認為是有史以來最偉大的數學家之一。他對數學和物理學的許多分支都有貢獻(他在微分幾何方面的工作奠定了愛因斯坦廣義相對論的基礎)。解析延拓的一個應用是在他關于質數的研究中，更确切地說，是在他1859年的論文中，首次闡述了現在著名的黎曼假設。
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在複平面的其餘部分通過解析延拓。為了了解為什麼上面的級數隻對Re(s)>1有效，我們取一個泛型項的絕對值
如前所述，如果和(和的元素)的絕對值的和是有限的，則無窮級數是絕對收斂的。因此，為了使方程26完全收斂，我們必須有Re(s)>1。黎曼表明,通過分析延續一個可以擴展ζ(s)整個複平面(隻有一個極s = 1)。
黎曼假設指出：
黎曼函數的每個非平凡零點的實部是1/2。
下圖說明了假設。它顯示了以下重要的解釋：
- 所謂的平凡零點指 -2，-4，-6，…
- 如果假設成立，臨界線包含所有非平凡零
,
- 圖17:除了平凡的零，黎曼澤塔函數的所有解都在臨界帶中(見圖)。根據黎曼假設，所有非平凡零都位于臨界線Re(s) = 1/2上。
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