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求直線與平面夾角的向量公式

圖文 更新时间:2025-01-04 11:39:13

空間兩條直線用向量計算夾角的方法

近年來高考數學利用向量計算二面角,直線夾角的試題似乎每年都有,這是一種趨勢,說明向量計算的簡潔和直觀。

本篇講述向量的點積,也叫數量積的計算方法,從而得出向量夾角的公式。

我們知道向量是有大小和方向:

求直線與平面夾角的向量公式(用向量計算空間兩條直線的夾角方法)1

兩個向量的乘積可以是個數量,如力在一個方向上作用會使物體在另一個方向移動所做的功,這個積就是向量的點積,有:

求直線與平面夾角的向量公式(用向量計算空間兩條直線的夾角方法)2

為什麼乘以餘弦,而不是正弦,這是因為力做功隻有在移動的方向才有功,垂直移動的方向是不做功的,或做功為零,而力在位移方向的投影就是和餘弦相關。

兩個向量不管放在哪裡,隻要大小相等,方向一緻,就是一個向量,所以在直角平面坐标系中,某個向量的表達是唯一的,我們沿着x 軸的單位向量為i, 沿着y軸的單位向量為j, 那麼向量a可以表示為:

求直線與平面夾角的向量公式(用向量計算空間兩條直線的夾角方法)3

由于單位向量i和j相互成90度,所以i.j=1x1.cos=0,因此:

求直線與平面夾角的向量公式(用向量計算空間兩條直線的夾角方法)4

由此可以推出平面兩個向量如果知道它們的坐标, 那麼它們的夾角餘弦為:

求直線與平面夾角的向量公式(用向量計算空間兩條直線的夾角方法)5

此公式可以推廣到三維空間的兩個向量的夾角餘弦值。

求直線與平面夾角的向量公式(用向量計算空間兩條直線的夾角方法)6

隻要根據空間中的線段的兩個有序端點的坐标,就可以求出向量ab的ax, ay, az以及bx, by, bz, 帶入上式就求得空間兩條直線的夾角。例如下圖的向量ab的夾角的計算:

求直線與平面夾角的向量公式(用向量計算空間兩條直線的夾角方法)7

求直線與平面夾角的向量公式(用向量計算空間兩條直線的夾角方法)8

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