什麼是多面體的外接球,如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上,那麼稱這個多面體是球的内接多面體,這個球為多面體的外接球。
多面體的外接球問題,是立體幾何的一個重點,也是高考考察的一個熱點,當然這熱點不是“重點”,而是難點!有多少優秀的孩子們被這個球弄得亂七八糟!
研究多面體的外接球問題,又要運用球的性質,要命的是還要特别注意多面體的有關幾何元素與球的半徑的關系,而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關重要的作用,接下來,我們通過幾道例題來探讨這類問題的求解策略。
1
直接法
長方體模型是學習立體幾何的基礎,掌握長方體模型,對理解立體幾何的關系問題起着重要的作用,尤其是在解決多面體外接球問題中。長方體的體對角線為長方體外接球的直徑,正方體的體對角線為正方體的外接球的直徑。
2、長方體的外接球問題
例2、一個長方體的各頂點均在同一個球面上,且一個頂點上的三條棱的長分别為3、4、5,則此球的體積為。
解析:因為長方體内接于球,所以它的體對角線正好為球的直徑,因此,求球的半徑可轉化為先求長方體的體對角線長,再計算半徑。
2
構造法
由于正方體、長方體的外接球半徑可以輕松求的,所以在遇見一類特殊幾何體,通常是四面體,通常選擇補形成正方體、長方體,進而通過求正方體、長方體的外接球的半徑來求四面體的半徑。
SEE MORE →
(1)、正四面體
例3、一個四面體的所有棱長都為2,四個頂點在同一球面上, 則此球的表面積為。
解析:因為四面體的所有棱長都為2,所以放置正四面體S-ABC于正方體中(如圖),由對稱性可知,四面體的外接球就是正方體的外接球,所以正方體的體對角線正好為球的直徑,因此,求正四面體外接球的半徑可轉化為先求正方體的體對角線長,再計算半徑。
(2)、等腰四面體
等腰四面體是對棱分别相等的四面體。
例4、三棱錐S-ABC中,其中SA=BC=3,SB=AC=4,SC=AB=5,求三棱錐S-ABC外接球的體積為。
解析:因為四面體的對棱相等,所以放置四面體S-ABC于長方體中(如圖),由對稱性可知,四面體的外接球就是長方體的外接球,所以長方體的體對角線正好為球的直徑,因此,求四面體外接球的半徑可轉化為先求長方體的體對角線長,再計算半徑。
(3)、牆角四面體
牆角四面體即共頂點的三條棱兩兩垂直,或者有三個面兩兩垂直的三棱錐。
例5、三棱錐S-ABC中,其中SA⊥SB,SA⊥SC,SB⊥SC,且SA=3,SB=4,SC=5,求三棱錐S-ABC外接球的表面積為。
解析:因為四面體的三條棱兩兩垂直,所以放置四面體S-ABC于長方體中(如圖),由對稱性可知,四面體的外接球就是長方體的外接球,所以長方體的體對角線正好為球的直徑,因此,求四面體外接球的半徑可轉化為先求長方體的體對角線長,再計算半徑。
(4)、“鼈臑”型四面體
鼈臑即四個面都是直角三角形的四面體。
例6、三棱錐S-ABC中,其中SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,且SA=3,AB=4,BC=5,求三棱錐S-ABC外接球的表面積為。
解析:因為四面體的有線面垂直,所以放置四面體S-ABC于長方體中(如圖),由對稱性可知,四面體的外接球就是長方體的外接球,所以長方體的體對角線正好為球的直徑,因此,求四面體外接球的半徑可轉化為先求長方體的體對角線長,再計算半徑。
未完,繼續關注哦!
,更多精彩资讯请关注tft每日頭條,我们将持续为您更新最新资讯!