什麼是多面體的外接球，如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那麼稱這個多面體是球的内接多面體，這個球為多面體的外接球。

多面體的外接球問題，是立體幾何的一個重點，也是高考考察的一個熱點，當然這熱點不是“重點”，而是難點！有多少優秀的孩子們被這個球弄得亂七八糟！

研究多面體的外接球問題，又要運用球的性質，要命的是還要特别注意多面體的有關幾何元素與球的半徑的關系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關重要的作用，接下來，我們通過幾道例題來探讨這類問題的求解策略。

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直接法

長方體模型是學習立體幾何的基礎，掌握長方體模型，對理解立體幾何的關系問題起着重要的作用，尤其是在解決多面體外接球問題中。長方體的體對角線為長方體外接球的直徑，正方體的體對角線為正方體的外接球的直徑。

2、長方體的外接球問題

例2、一個長方體的各頂點均在同一個球面上，且一個頂點上的三條棱的長分别為3、4、5，則此球的體積為。

解析：因為長方體内接于球，所以它的體對角線正好為球的直徑，因此，求球的半徑可轉化為先求長方體的體對角線長，再計算半徑。

2

構造法

由于正方體、長方體的外接球半徑可以輕松求的，所以在遇見一類特殊幾何體，通常是四面體，通常選擇補形成正方體、長方體，進而通過求正方體、長方體的外接球的半徑來求四面體的半徑。

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（1）、正四面體

例3、一個四面體的所有棱長都為2，四個頂點在同一球面上， 則此球的表面積為。

解析：因為四面體的所有棱長都為2，所以放置正四面體S-ABC于正方體中（如圖），由對稱性可知，四面體的外接球就是正方體的外接球，所以正方體的體對角線正好為球的直徑，因此，求正四面體外接球的半徑可轉化為先求正方體的體對角線長，再計算半徑。

（2）、等腰四面體

等腰四面體是對棱分别相等的四面體。

例4、三棱錐S-ABC中，其中SA=BC=3，SB=AC=4，SC=AB=5，求三棱錐S-ABC外接球的體積為。

解析：因為四面體的對棱相等，所以放置四面體S-ABC于長方體中（如圖），由對稱性可知，四面體的外接球就是長方體的外接球，所以長方體的體對角線正好為球的直徑，因此，求四面體外接球的半徑可轉化為先求長方體的體對角線長，再計算半徑。

（3）、牆角四面體

牆角四面體即共頂點的三條棱兩兩垂直，或者有三個面兩兩垂直的三棱錐。

例5、三棱錐S-ABC中，其中SA⊥SB，SA⊥SC，SB⊥SC，且SA=3，SB=4，SC=5，求三棱錐S-ABC外接球的表面積為。

解析：因為四面體的三條棱兩兩垂直，所以放置四面體S-ABC于長方體中（如圖），由對稱性可知，四面體的外接球就是長方體的外接球，所以長方體的體對角線正好為球的直徑，因此，求四面體外接球的半徑可轉化為先求長方體的體對角線長，再計算半徑。

（4）、“鼈臑”型四面體

鼈臑即四個面都是直角三角形的四面體。

例6、三棱錐S-ABC中，其中SA⊥平面 ABC，AB⊥BC，且SA=3，AB=4，BC=5，求三棱錐S-ABC外接球的表面積為。

解析：因為四面體的有線面垂直，所以放置四面體S-ABC于長方體中（如圖），由對稱性可知，四面體的外接球就是長方體的外接球，所以長方體的體對角線正好為球的直徑，因此，求四面體外接球的半徑可轉化為先求長方體的體對角線長，再計算半徑。

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