一、求二項式展開式中指定項

在二項展開式中，有時存在一些特殊的項，如常數項、有理項、整式項、系數最大的項等等，這些特殊項的求解主要是利用二項展開式的通項公式，然後依據條件先确定r的值，進而求出指定的項。

1、求常數項

例1、已知

A. －45i

B. 45i

C. －45

D. 45

解析：第三項、第五項的系數分别為

整理得

解得n=10

設常數項為

則有

得r=8

故常數項為

2、求有理項

例2、已知

的展開式中，前三項系數成等差數列，求展開式中所有的有理項。

解析：展開式的前三項的系數分别為

則由題意可得

即

解得n=8（n=1舍去）

于是

若為有理項，則

故展開式中所有的有理項為

3、求幂指數為整數的項

例3、在

的展開式中，x的幂指數是整數的項共有

A. 3項

B. 4項

C. 5項

D. 6項

解析：

所以r=0，6，12，18，24時，x的幂指數為整數，故選C。

4、求系數最大的項

例4、已知

的展開式中，隻有第五項的二項式系數最大，求該展開式中系數最大的項。

解析：由隻有第五項的二項式系數最大，可知展開式共有9項，故n=8

又

設第r 1項的系數最大，則有

解得

又

所以二項式的展開式中系數最大的項是

二、求三項式或多項的和或積的展開式中指定項

有些三項式展開問題可以先通過變形轉化為二項式展開問題加以解決，對于多項的和或積的二項式問題，可通過“搭配”解決，但要注意不重不漏。

例5、

的展開式中整理後的常數項為________。

解析：

對于二項式

要得到常數項需10－r=5，則r=5

所以常數項為

例6、在

A. 74

B. 121

C. －74

D. －121

解析：的展開式中，含的項為

三、求展開式中某一項的二項式系數或系數

此類問題仍然是利用二項式的通項公式來加以求解，但在解題中要注意某一項的二項式系數與系數的區别。

例7、在

解析：

令

，得r=1

所以的系數為

四、求展開式中的系數和

在涉及到求展開式中所有項系數的和或者奇數項、偶數項系數和的問題時，通常可以根據題目的結構特征，選擇“賦值法”來加以解決。

例8、若

解析：取x=0，得

取x=1，得

故

=2003 1=2004

五、近似計算、證明整除及求餘數問題

近似計算要首先注意精确度，然後選取展開式中前幾項進行計算。用二項式定理證明整除及求餘數問題，一般将被除式變為有關除式的二項式的形式來展開，常采用“配湊法”，“消去法”，結合整除的有關知識來解決。

例9、2001年國内生産總值達到95933億元，比上年增長7.3%，如果“十·五”期間（2001年—2005年）每年的國内生産總值都按此年增長率增長，那麼到“十·五”末我國國内年生産總值約為

A. 115000億元

B. 120000億元

C. 127000億元

D. 135000億元

解析：設到“十·五”末我國國内年生産總值為A，由複利公式或等比數列通項公式，得

A=

故選C

例10、

解析：

所以除以100的餘數是81。

六、與其它知識交彙型問題

二項定理可以與組合、數列極限、楊輝三角、萊布尼茨三角形、極限等知識進行綜合。

例11、設常數a>0，

解析：

由

又

所以

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