多年來中考試題中，數與代數綜合問題經久不衰，它常常涉及數與式、方程與不等式、函數與圖像、應用與探索等多方面的内容。大家普遍認為它具有綜合性強、區分度高、難度大等特點。往往所涉及的知識點多、技巧性強、覆蓋面大。

解答這類問題的關鍵是正确理解題目中的已知與未知之間的關系。運用不等式的性質、方程的解法或根的判别式與根與系數關系、函數圖像位置特性以及增減性等進行綜合分析，其間往往一般還需要進行分類讨論才可完滿求解問題。

類型1 數與式難題，靈活巧解源于代數式的融會貫通

例1．（南通中考題）已知x＝2m n 2和x＝m 2n時，多項式x² 4x 6的值相等，且m﹣n 2≠0，則當x＝3（m n 1）時，多項式x² 4x 6的值等于______．

【思路1】把x＝2m n 2和x＝m 2n分别代入多項式x² 4x 6中，由相等關系，(2m n 2)² 4(2m n 2) 6=(m 2n)² 4(m 2n) 6,化簡得（m-n 2）(3m 3m 6)=0, 因m﹣n 2≠0，所以3m 3m 6=0，x=-3, 代入多項式x² 4x 6可求得值為3.

【思路2】取m=0, 則x＝n 2和x＝2n，别代入多項式x² 4x 6中，由相等關系，可得n=-2,再把m=0, n=-2,代入x＝3（m n 1）=-3，代入所求式同樣求出結果。

【思路3】先将x＝2m n 2和x＝m 2n時，多項式x² 4x 6的值相等理解為x＝2m n 2和x＝m 2n時，二次函數y＝x² 4x 6的值相等，

∴3m 3n 2＝﹣4，m n＝﹣2，

∴當x＝3（m n 1）＝3（﹣2 1）＝﹣3時，

x² 4x 6＝（﹣3）2 4×（﹣3） 6＝3．

故答案為：3．

類型2 方程型難題，依據已知條件，順藤摸瓜，靈活轉化條件是這類問題常用策略

例2. （荊州中考題）已知關于x的一元二次方程x² （k﹣5）x 1﹣k＝0，其中k為常數．

（1）求證：無論k為何值，方程總有兩個不相等實數根；

（2）已知函數y＝x² （k﹣5）x 1﹣k的圖象不經過第三象限，求k的取值範圍；

（3）若原方程的一個根大于3，另一個根小于3，求k的最大整數值．

【分析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根據判别式的意義即可證明；

（2）由于已知二次函數圖像不經過第三象限，又△＝（k﹣5）²﹣4（1﹣k）＝（k﹣3）² 12＞0，所以抛物線的頂點在x軸的下方經過一、二、四象限，根據二次項系數知道抛物線開口向上，由此可以得出關于k的不等式組，解不等式組即可求解；

（3）設方程的兩個根分别是x1，x2，根據題意得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，根據一元二次方程根與系數的關系求得k的取值範圍，再進一步求出k的最大整數值．

【解答】（1）證明：∵△＝（k﹣5）²﹣4（1﹣k）＝k²﹣6k 21＝（k﹣3）² 12＞0，∴無論k為何值，方程總有兩個不相等實數根；

（2）解：∵二次函數y＝x² （k﹣5）x 1﹣k的圖象不經過第三象限，二次項系數a＝1，∴抛物線開口方向向上，

∵△＝（k﹣3）² 12＞0，∴抛物線與x軸有兩個交點，

設抛物線與x軸的交點的橫坐标分别為x1，x2，

∴x1 x2＝5﹣k＞0，x1•x2＝1﹣k≥0，解得k≤1，

即k的取值範圍是k≤1；

（3）解：設方程的兩個根分别是x1，x2，

根據題意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1•x2﹣3（x1 x2） 9＜0，

又x1 x2＝5﹣k，x1•x2＝1﹣k，

代入得，1﹣k﹣3（5﹣k） 9＜0，解得k＜5/2．

則k的最大整數值為2．

【點評】本題考查了抛物線與x軸的交點，二次函數的圖象和性質，二次函數與一元二次方程的關系，根的判别式，根與系數的關系，綜合性較強，難度适中．

例3.（樂山中考題）已知關于x的一元二次方程mx² （1﹣5m）x﹣5＝0（m≠0）．

（1）求證：無論m為任何非零實數，此方程總有兩個實數根；

（2）若抛物線y＝mx² （1﹣5m）x﹣5與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，且|x1﹣x2|＝6，求m的值；

（3）若m＞0，點P（a，b）與Q（a n，b）在（2）中的抛物線上（點P、Q不重合），求代數式4a²﹣n² 8n的值．

【分析】（1）直接利用△＝b²﹣4ac，進而利用偶次方的性質得出答案；

（2）首先解方程，進而由|x1﹣x2|＝6，求出答案；

（3）利用（2）中所求得出m的值，進而利用二次函數對稱軸得出答案．

【解答】（1）證明：由題意可得：

△＝（1﹣5m）²﹣4m×（﹣5）

＝1 25m²﹣10m 20m＝25m² 10m 1＝（5m 1）²≥0，

故無論m為任何非零實數，此方程總有兩個實數根；

（2）解：mx² （1﹣5m）x﹣5＝0，

（x﹣5）（mx 1）＝0，解得：x1＝﹣1/m，x2＝5，

由|x1﹣x2|＝6，得|﹣1/m﹣5|＝6，

解得：m＝1或m＝﹣1/11；

（3）解：由（2）得，當m＞0時，m＝1，

此時抛物線為y＝x²﹣4x﹣5，其對稱軸為：x＝2，

由題已知，P，Q關于x＝2對稱，

∴(a a 2)/2＝2，即2a＝4﹣n，

∴4a²﹣n² 8n＝（4﹣n）²﹣n² 8n＝16．

類型3 函數難題，通過關鍵點坐标紐帶特性，融會貫通方程、不等式與函數知識三者之間聯系，是解決函數必要條件及常用策略。

例4．（蘇州中考題）如圖①，直線l表示一條東西走向的筆直公路，四邊形ABCD是一塊邊長為100米的正方形草地，點A，D在直線l上，小明從點A出發，沿公路l向西走了若幹米後到達點E處，然後轉身沿射線EB方向走到點F處，接着又改變方向沿射線FC方向走到公路l上的點G處，最後沿公路l回到點A處．設AE＝x米（其中x＞0），GA＝y米，已知y與x之間的函數關系如圖②所示，

（1）求圖②中線段MN所在直線的函數表達式；

（2）試問小明從起點A出發直至最後回到點A處，所走過的路徑（即△EFG）是否可以是一個等腰三角形？如果可以，求出相應x的值；如果不可以，說明理由．

【分析】（1）根據點M、N的坐标，利用待定系數法即可求出圖②中線段MN所在直線的函數表達式；

（2）分FE＝FG、FG＝EG及EF＝EG三種情況考慮：①考慮FE＝FG是否成立，連接EC，通過計算可得出ED＝GD，結合CD⊥EG，可得出CE＝CG，根據等腰三角形的性質可得出∠CGE＝∠CEG、∠FEG＞∠CGE，進而可得出FE≠FG；②考慮FG＝EG是否成立，由正方形的性質可得出BC∥EG，進而可得出△FBC∽△FEG，根據相似三角形的性質可得出若FG＝EG則FC＝BC，進而可得出CG、DG的長度，在Rt△CDG中，利用勾股定理即可求出x的值；③考慮EF＝EG是否成立，同理可得出若EF＝EG則FB＝BC，進而可得出BE的長度，在Rt△ABE中，利用勾股定理即可求出x的值．綜上即可得出結論．

【解答】（1）設線段MN所在直線的函數表達式為y＝kx b，

将M（30，230）、N（100，300）代入y＝kx b，

30k b=230,100k b=300，解得：k=1, b=200，

∴線段MN所在直線的函數表達式為y＝x 200．

（2）分三種情況考慮：

①考慮FE＝FG是否成立，連接EC，如圖所示．

∵AE＝x，AD＝100，GA＝x 200，∴ED＝GD＝x 100．

又∵CD⊥EG，∴CE＝CG，∴∠CGE＝∠CEG，

∴∠FEG＞∠CGE，∴FE≠FG；

②考慮FG＝EG是否成立．

∵四邊形ABCD是正方形，∴BC∥EG，∴△FBC∽△FEG．

假設FG＝EG成立，則FC＝BC成立，∴FC＝BC＝100．

∵AE＝x，GA＝x 200，∴FG＝EG＝AE GA＝2x 200，

∴CG＝FG﹣FC＝2x 200﹣100＝2x 100．

在Rt△CDG中，CD＝100，GD＝x 100，CG＝2x 100，

∴100² （x 100）²＝（2x 100）²，

解得：x1＝﹣100（不合題意，舍去），x2＝100/3；

③考慮EF＝EG是否成立．

同理，假設EF＝EG成立，則FB＝BC成立，

∴BE＝EF﹣FB＝2x 200﹣100＝2x 100．

在Rt△ABE中，AE＝x，AB＝100，BE＝2x 100，

∴100² x²＝（2x 100）²，

解得：x1＝0（不合題意，舍去），x2＝﹣400/3（不合題意，舍去）．

綜上所述：當x＝100/3時，△EFG是一個等腰三角形．

【點評】本題考查了待定系數法求一次函數解析式、等腰三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、正方形的性質以及勾股定理，解題的關鍵是：（1）根據點的坐标，利用待定系數法求出一次函數關系式；（2）分FE＝FG、FG＝EG及EF＝EG三種情況求出x的值．

例5（資陽中考題）如圖，已知直線l分别與x軸、y軸交于A，B兩點，與雙曲線y＝a/x（a≠0，x＞0）分别交于D、E兩點．

（1）若點D的坐标為（4，1），點E的坐标為（1，4）：

①分别求出直線l與雙曲線的解析式；

②若将直線l向下平移m（m＞0）個單位，當m為何值時，直線l與雙曲線有且隻有一個交點？

（2）假設點A的坐标為（a，0），點B的坐标為（0，b），點D為線段AB的n等分點，請直接寫出b的值．

【解析】（1）①把D（4，1）代入y＝a/x得a＝1×4＝4，

所以反比例函數解析式為y＝4/x（x＞0）；

設直線l的解析式為y＝kx t，

化為關于x的方程得x² （m﹣5）x 4＝0，

△＝（m﹣5）2﹣4×4＝0，解得m1＝1，m2＝9，

而m＝9時，解得x＝﹣2，故舍去，

所以當m＝1時，直線l與雙曲線有且隻有一個交點；

（2）作DF⊥x軸，如圖，

∵點D為線段AB的n等分點，∴DA：AB＝1：n，

∵DF∥OB，∴△ADF∽△ABO，

∴AF/AO=DF/BO=AD/AB，即AF/a=DF/b=1/n，

∴AF＝a/n，DF＝b/n，∴OF＝a﹣ a/n，∴D點坐标為（a﹣a/n ，b/n），

方法總結：從以上5個例題我們不難體會到這類問題求解策略，"順藤摸瓜"，通俗地講就是在閱讀題幹的時候，每出現一個條件，就必須大膽聯想有這個條件能推導出什麼結論，得出的結論對解題所求結果有什麼幫助，還可繼續拓展得到什麼，想辦法溝通靠攏。

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