臨界點和取值範圍問題是中考數學常考内容之一，一般與幾何、函數一起考查，而取值範圍問題，可能涉及不等式和代數式有意義的問題。

我們今天簡單看一下臨界點問題和取值範圍常考哪些内容。

（1）求取值範圍：

①根據判别式求取值範圍：

例：已知x²-2mx m 6=0有兩個不相等的實數根，求m的取值範圍

思路：顯然有兩個不相等的實數根需滿足△=b²-4ac＞0，本式中a=1，b=-2m，c=m 6。

所以有（-2m）²-4（m 6）=4（m-3）（m 2）>0

易知 m的取值範圍為m<-2或m>3

②有無數解問題：

例：❶若ax² ax 1>0恒成立，求a的取值範圍。【一般不等式均有無數解，這裡我們說是恒成立】

思路：實際上是考查對二次函數圖像的認識，因為不等方程是＞0，所以二次函數需滿足開口向上即a>0,且與x軸無交點，即判别式△<0,易知0<a<4

例：❷關于x的不等式2x 5-a>1-bx恒成立，試确定a，b的取值範圍。

思路：對于任意的方程ax b=0，隻有在a和b同時為0的時候，方程有無數解（為什麼？因為a=0，則ax恒為0，與x的取值無關）。而對于不等式ax b>0，則必須是在a=0，b>0，時才可能恒成立。

所以此題先移項化為（2 b）x 4-a>0，則有b=-2,a<4。

②無解問題（二次函數問題不再舉例）：

例：❶

思路：不等式組無解的思路是讓兩個不等式解到的解無公共部分例如（不存在x>1且x<0的值）。

本題中x-3（x-2）≤4，解得x≥1，第二個分式不等式解得x＜a，所以隻需保證a不大于1即可，即a≤1。（注意對于a是否能取1，不熟練時單獨拿出來分析一下）

❷我們将上一題略微改動：

思路：注意改動的位置，第一個不等式不等式改變，則解變為了x≤1，而整個不等式組的解也是x≤1，所以第二個不等式解到的解必須是x<b,且b需要時大于1的數。而第二個不等式移項化簡後未（3a-2）x<a。所以必須有3a-2>0，且a/（3a-2）>1，解得2/3<a<1【同樣，臨界點a=1可以單獨拿出來分析】

③代數式有意義問題（定義域）：

一般情況下初中階段代數式有意義的問題主要是偶次（初中一般就是根号）根下代數式需大于等于0，分式中分母不等于0。

例：

顯然此題即有根号又有分式需滿足x-2>0,3-x≥0，則2<x≤3。

④給定x的範圍求y的範圍（值域）：

最簡單的問題是一次函數：若y=-2x 4，且x>4，試求y的取值範圍。

因為x>4,則-2x<-8,所以y=-2x 4<-8 4=-4，但對于二次函數問題則變得稍微複雜一些：

例❶：求關于x的函數y=x²-4x 9在實數範圍内y的取值範圍

顯然可以進行配方或直接應用頂點公式，這裡舉例是非常簡單的所以進行配方（根據（a b）²=a² 2ab b²，一對一的湊出來， 這裡把x看成a，2b應該對應-4，則b=-2，b²=4）：

y=x²-4x 4 5=（x-2）² 5≥5

❷：還是上面的題目，關于x的函數y=x²-4x 9在0<x<3時y的取值範圍。

有的同學非常聰明，直接将x=0和x=3，代入後y=9或y=6，所以6<y<9。

注意：這樣做未考慮其他取值情況，而實際上當x=2時y取最小值5，故y的取值範圍是5≤y＜9。

（2）臨界問題：

一般情況下在确定某代數式的取值範圍時均會考慮臨界問題，以上舉例中的各邊界點均是臨界，但在幾何中和二次函數或反比例函數找交點時略有不同，常常與動點一起考查。

①幾何相關

例❶：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P為邊BC上一動點（不包括點B、C），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則EF的取值範圍是？

思路：我們能看出來的是AFPE是個矩形，這樣求EF其實就演變成了求AP。P點在移動過程中當AP垂直BC時最小，當移動到C點時最大。

當垂直時：5×AP=3×4，AP=12/5,而移動到C時最大為4，顯而易見。

例❷：如圖，在直角坐标系中，△ABC的頂點A、B、C的坐标分别是（3，3）、（2，-2）、（0，c），則當△ABC成為銳角三角形時，c的取值範圍是_________________.

如圖左圖是給出的圖形，有圖我們找臨界點，首先C向上移動不能超過上紅線、向下移動不能超過下紅線同時，移動過程中∠ACB還會經曆一個從小變大再變小的過程，我們還要找到中間的臨界點，這道題對于高中階段解答起來要比初中容易的多（斜率相乘等于-1），也不是不可解。

首先距離公式推導（按下圖，AD和BD均用AB坐标來表示出來，不推導出公式也可以，但要會計算d²=（x1-x2）² （y1-y2）²：

AB²=AD² BD²=1 25=26

上方臨界點：（c-3）² 9 26=4 （c 2）²解得c=3.6

下方臨界點：26 4 （c 2）²=（c-3）² 9解得c=-1.6

驗證中間臨界點：（c-3）² 9 4 （c 2）²=26解得c=2或c=-1。

則可知c點的取值範圍被分成了兩段-1.6到-1,2到3.6。

幾何題先舉例此兩題

②函數問題

例：

這是某年北京市中考壓軸題，其中第二問的第二小題便是臨界問題，需要畫圖：

藍線便是臨界（一般解題思路是一點點的平移）

k值已計算得4，而實際上直線平移過程中與y軸的交點便是（0，b），簡單理一下思路：

例：已知點A，B的坐标分别為（1，0），（2，0），若二次函數y=x² （a-3）x 3的圖像與線段AB隻有一個交點，則a的取值範圍是（ ）。

一定要畫一畫：

明确一點：此二次函數開口向上：那麼如果二次函數與x軸隻有一個交點，那麼此時

（a-3）²-12=0，解得

顯然當a=3 2√3時滿足題意。

另外：若另一個交點在右側，一個在其中則有當x=2時y<0,當x=1時，y≥0，即-1≤a＜-1/2;

若另個一交點在x軸左側，一個在其中則有當x=2時y≥0,當x=1時，y＜0，此時無解。

所以a的取值範圍是a=3-2√3或-1≤a＜-1/2。

返回頭再看此題實際上需滿足x=1和x=2時y的取值異号或其中一個為0即可，

即求（2a 1）（a 1）≤0,且判别式大于等于。

關于臨界點或取值範圍的題目數不勝數，這裡隻是簡單舉例。題目有找的，有臨時出的。

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