從純數學理念和學習方法而言，這周一發的《深度好文：小學數學應該學什麼，怎麼學？》算是我公衆号xuanbamath開号來寫的最完整和最有價值的一篇文章，也因此得到了衆多家長的喜愛，不到1萬的閱讀量，卻被收藏了1200多次。不少家長都把文章打印下來和孩子一起研讀學習。

在上面這篇文章中，我提到了解題的應試和提升兩個階段。對于即将來臨的小學期末考試而言，學校為了讓大家過一個祥和的春節，出的試卷難度一般不會太大。因此，對大部分學生來說，能否考出高分往往取決于自己的細心程度。而這其中，驗算是應試解題階段非常重要的一環！

有少數人認為驗算就是重新算一遍，那真是大錯特錯了！ 不妨在繼續往下讀之前先想一想你知道哪些驗算方法，平時又用了哪些驗算方法。

其實，不少驗算方法大家都知道，但關鍵是，要踐行。在這方面，我自己在中小學時期做得非常好。當然，驗算是一門大學問，這裡分享的是我自己的經驗，并非金科玉律。

之前我曾零散地寫過幾篇與驗算相關的文章，這裡就做一下終極的總結，分享3條原則和7種方法，希望對大家有用。

驗算原則

原則1：驗算方法千萬條，讀對題目第一條

家長給孩子的數學試卷訂正簽字時，下面的場景是不是很熟悉？

啥，這題又漏看條件啦？

什麼，又把數看反了？

咋回事？明明寫的是分米，你怎麼又看成了米？

我再三強調：驗算方法千萬條，讀對題目第一條! 但是，很多孩子依然會在這一條上栽跟頭。

比如下面這道題，是不是很熟悉？

王老師和45位同學一起去劃船，如果每條船最多坐5人，請問至少要租多少條船？

雖然我不贊同這種“純挖坑式”的出題方法，但是這類題目在小學數學試卷裡可是屢見不鮮。小學出題老師對這種坑屢挖不疲，孩子們也絕不辜負老師“厚望”，争先恐後往裡跳。而我們的課堂教學就會花很多時間來教學生如何避免掉這種坑裡。

如果孩子不讀錯題，那出題老師不就沒有動力挖這種坑了嗎？遺憾的是沒有如果。不可避免地讀錯題，成為老師和學生“貓捉老鼠遊戲”的源頭。

其實在應試裡，我們不叫“讀題”，而是叫“審題”。“審”這個字，是詳細、周密的意思。跟“審”字經常組的詞有審問、審訊等，這不就得挖地三尺把事情搞清楚嗎？

那怎樣才能降低讀錯題的可能性呢？

讀錯題可以分為兩類：

（1）讀錯題

是指文本層面讀錯題目，包括漏讀和讀錯文本，比如，數讀錯、單位看錯、漏看條件等是最常見的。

（2）會錯意

與讀錯題不同，會錯意并沒有漏讀或讀錯文本，而是在題目文本的理解層面出了偏差。

例如下面這個問題：

已知鉛筆3元一支，尺子5元一把，記事本6元一本，筆盒10元一個，請問小明至少要帶多少錢，才能随意購買兩樣文具？

要讓低年級孩子理解這個問題并不容易。

首先，兩樣文具是可以一樣兩件呢，還是必須要不同的兩樣？其次，随意購買是什麼意思？能買兩件是不行的，所帶的錢需要能買任何兩種文具才行。最後，碰到“最少”“最多”這樣的字眼，一定要萬分注意。這裡至少指的是少一元不行，多一元不要。

讀錯題的後果很嚴重。主要體現在：

（1）讀錯題，結果幾乎肯定錯；

（2）讀錯題，往往要花費更多的時間求解，導緻分配給其它問題的時間變少；

（3）正确的道路通常賞心悅目，錯誤的道路往往布滿荊棘。在錯誤的道路上艱難前行，常常會讓自己考試時心浮氣躁。

對此，我給出的對策是：

（1）放慢讀題速度，切忌掃視

掃視這個毛病，跟孩子平時的閱讀習慣有關。如果平時養成掃視的習慣，做數學題也會慣性使然。一定要讓孩子搞清楚，讀數學題可不是讀小說，讀題一定要慢、要細。

（2）題目讀兩遍再開始思考

不要讀一遍就急于下筆，讀兩遍，确認沒有漏掉内容再繼續往下走。

（3）圈重點、做标記

僅僅讀還不夠，最好用筆圈出題目中的每個條件，以及問的是什麼問題。搞清楚哪些是題幹，哪些是無關緊要的輔助場景。

（4）揣摩每個條件的用途

一般而言，題目中的每個條件都是有用的。如果在考試時發現有些條件沒用上就把題給解了，那一定要小心。并不是說這種情況不存在，而是很少出現。

（5）揣摩出題人的意圖

這一點對于避免會錯意很重要，揣摩一下出題人到底想考你什麼。有的時候可以變換一下角色，想想如果你是出題人，你會這麼考嗎？

（6）謹慎連結已知套路

學多了套路的一大問題，是看到似曾相識的問題時抑制不住内心的激動，客觀上加速了掃視，直接用上了套路。最後的結果是會錯題意，得出錯誤結果。這一點在《沒有照妖鏡，我就降不住妖了？》一文中有詳細的案例闡述。

（7）當越做越繁瑣的時候及時提醒自己

這一點在小學低年級體現得并不明顯，但進入小學高年級和中學以後特别明顯。一般的數學問題如果能正确求解，過程和結果都比較優美，給人以享受。如果越算越繁瑣，很可能是讀錯題的征兆。出現這種情況，八成是中間算錯了，或者是開始題目就讀錯了。這時最好不要不撞南牆不回頭，而是應停下來重新審一下題。

（8）驗算也從讀題開始

最後，驗算也從重新讀題開始，切忌直接就開始重新算一遍。

原則2：珍惜當下，今朝有酒今朝醉

這條原則講的是驗算要即時，每做完一題，即時驗算，不要等試卷上的所有題都做完了再驗算。一是剛做的題，自己印象深刻，驗算也快速；二是可以即時标記，對于确定做對的題，全卷做完後就不用再驗算了。

原則3：穩紮穩打，步步為營

最後一條原則主要适用于計算類問題。每做一步先确定這一步是正确的，然後再往下走。否則，可能會做很多無用功。

例如，下面的計算題：

(43 72×21-25)÷17=

如果前面的任何一步出錯了，那後面做的将都是無用功。

驗算方法

方法1：代入驗算法

代入驗算，顧名思義，就是把結果代入未知量，如果符合給出的條件，則答案就是正确的。用這種方法驗算過的題目，可以直接标注為正确。

小學數學比較難的是做逆向思考，這種問題其實在學過方程後就變得很簡單，也最适合用代入驗算法。比如和差倍問題、年齡問題、雞兔同籠問題、盈虧問題等，都适合這類方法。

例如下面這個問題：

哥哥今年12歲，妹妹今年4歲，請問哥哥多少歲時，年齡是妹妹的2倍？

如果求解得到18歲的答案，對不對？通過代入可知，18歲是哥哥6年後，彼時妹妹為10歲，18≠2×10，因此答案錯。

如果求解得到16歲的答案，對不對？通過代入可知，16歲是哥哥4年後，彼時妹妹為8歲，16=2×8，因此答案正确。

再如下面這道雞兔同籠問題：

現有雞兔同籠，共有23頭和86足，請問雞兔各有多少隻？

如果解得雞10隻、兔13隻，對嗎？

代入可知，頭共有10 13=23隻，足10×2 13×4=72隻，錯！

方法2：殊途同歸法

解數學題，條條大道通羅馬。如果用不同的方法得到了同樣的解，那也基本能确認答案的正确性。這種一題多解的方法固然奏效，但對孩子的要求比較高。用這種方法驗算過的題目，也可以直接标注正确。

對于上面的雞兔同籠問題，即便不用代入驗算，而是用假設法解題，那我們也可以分别假設全是雞或假設全是兔。

解法一：

假設都是雞，則共有46隻腳，現在有86足，多了40隻足，每隻雞換成兔多2隻腳，因此有40÷2=20隻兔，23-20=3隻雞。

解法二：

假設全是兔，則共應有92隻腳，現有86足，少了6隻，每隻兔換成雞少2隻腳，因此有6÷2=3隻雞，23-3=20隻兔。

再看下面這個例子：

一個長20米寬15米的長方形水池外圍有一條寬度為2米的路，請問這條路的面積是多少？

除了直接把所要求的面積拆分成多個規則形狀，然後求和，還可以用整體減去部分的方法。

解法一（如上面左圖）：

小路的面積=A×2 B×2 C×4

A=20×2=40

B=15×2=30

C=2×2=4

小路面積=40×2 30×2 4×4=156

解法二（如上面右圖）：

小路的面積=A×2 B×2

A=(20 2)×2=44

B=(15 2)×2=34

小路的面積=88 68=156

解法三：

小路的面積=大長方形面積-小長方形面積

大長方形面積=24×19=456

小長方形面積=20×15=300

小路的面積=456-300=156

對于很多家長頭疼的計算問題，可以靈活地運用數的位值表示、交換律、結合律、分配律、因數分解等方法重新計算，盡量不要原封不動地再算一遍。

例如：

計算165 365-162=？

解法一：

165 365-162

=530-162

=368

解法二：

165 365-162

=165-162 365

=3 365

=368

再看一個：

(27×23 9）×99÷70=？

解法一：死算

(27×23 9）×99÷70

=(621 9)×99÷70

=630×99÷70

=630×(100-1)÷70

=(63000-630)÷70

=62370÷70

=891

解法二：

(27×23 9）×99÷70

=(9×3×23 9)×99÷70 （因數分解）

=(9×69 9)×99÷70 （結合律）

=9×(69 1)×99÷70 （乘法分配律）

=9×70×99÷70

=9×99×70÷70 （交換律）

=9×99×(70÷70) （結合律）

=9×99

=9×(100-1)

=9×100-9 （乘法分配律）

=891

方法3：特殊值法

有些時候，通過一般性的解法解得了一個答案後，可以用特殊/極端取值對答案進行驗證。其原理很簡單：既然對所有情況都成立，那麼對一些特殊的取值也要成立。

特殊值法不僅可用于驗算，還可以用于搜索最初的問題答案。對于單選題來說，特殊值法最為奏效，能有效加快解題速度。

例如下面的問題：

下圖中三個大正方形各有一個頂點重疊于一個邊長為1的小正方形的中心，請問小正方形塗色部分的面積是多少？

如果花了不少時間算出來面積是1/3，那到底對不對呢？可以假設一種特殊情況（如下圖），此時塗色部分的面積是1/4，因此算出來的1/3肯定不對！

再看下面這道流水行船問題：

一艘船在一條河流中從A點順流而下至B點，然後又從B點逆流而上至A點。如果水流速度為0，那麼整個航程需要1小時。如果水流的速度大于0，那麼整個航程需要的時間為_____.

(A) 大于1小時

(B) 恰好1小時

(C) 小于1小時

如果用一般化的方法推導出了答案，那可以用特殊值法驗算。假如水流的速度恰好等于靜水的船速，那麼船實際上處于很尴尬的狀态，即既不能進也不能退，也就是說返回時間為無窮大。因此，答案顯然是大于1小時。更極端一點，如果水速大于靜水的船速，那麼船在水裡是倒退的！

方法4：實驗驗證法

實驗驗證法是通過小規模的實驗來驗證抽象的猜想。對于一個規模較大的問題，當找出了規律但無法百分百确定時，可以用小規模實驗進行驗證，這也是科學研究經常會采用的一種辦法。

我自己中小學的時候在考場上就常常會通過小規模的實驗來簡單推導和驗證，以避免記錯公式。這種方法對于數列問題尤其奏效。

剛學等差數列的孩子，最難的是計算項數，比如：

2，5，8，11, ….2021，這個數列一共有多少項？

喜歡背公式的孩子常常不太确定項數到底是(a_n-a_1)/d還是(a_n-a_1)/d 1，此時，就可以使用小規模實驗驗證法來驗證。比如，就取3項，那麼（8-2）/3=2，因此應該是(a_n-a_1)/d 1。

再看幾個例子：

數列2，6，10，14，…, 的第26個數是多少？

答案是60對不對？每個數除以4都餘2，60不符合。因此，錯誤！

n條直線最多有多少個交點？

答n(n 1)/2對不對？

當n=1時, n(n 1)/2=1，一條直線應該沒有交點，因此不對。

答n(n-1)/2對不對?

n=1, 取值為0，正确

n=2, 取值為1，正确

n=3, 取值為3，正确

n=4, 取值為6，正确

因此，差不多應該是對的。

方法5：估算法

估算可以花很少的代價來發現一些明顯的錯誤，但不能保證發現所有的錯誤。

估算在研究工作中也是一種必備的素養。我在和研究生讨論問題時偶然也發現，有些學生給的結果明顯背離了常識，卻也不假思索地呈現出來了，這就是缺乏估算的習慣。

取值的範圍（上/下限）、常識、奇偶性、同餘、末位數等，都可以用于輔助驗算。

下面看幾個例子。

10年前媽媽的年齡是兒子年齡的7倍，15年後媽媽的年齡是兒子的2倍，問今年媽媽和兒子各多少歲？

媽媽和兒子的年齡總得差個20來歲，但也不能超過50歲，這算是基本常識。因此，如果算出來媽媽和兒子的年齡分别是30歲和18歲，那大概就錯了。

如果問題是求汽車的速度，假設算得的結果大于200公裡/小時或小于20公裡，基本上得重新檢查一下了。

對于算式計算問題，奇偶性、同餘等方法，能快速地确定答案是否錯誤。

例如：102×98=？

這個結果大約等于100×100=10000；如果算出來12016，大概率不對。

那結果應該比10000大還是小呢？

因為102 98=100 100，和相等，兩個數越接近乘積越大

因此，102×98<100×100=10000，算出來大于10000肯定錯

377×21-189=？

答案是73207對嗎？

奇數×奇數-奇數=偶數，所以不對

答案是71208對嗎？

奇偶性對，末位等于8也對。

但是，377×21-189除以9的餘數不是0（等于8×3=24除以9的餘數，為6），而71208能被9整除，因此不對。

為什麼要用除以9的餘數來做驗算？原因有二：第一，除以9的餘數有0，1，2..., 9這9種，産生假陰性（這裡指雖然答案錯誤，但除以9的餘數相同）的概率比較低；第二，除以9的餘數比較容易計算，就是各位數字之和除以9的餘數。

當然，大家完全可以用模其它數的餘數做驗算。從這個意義上說，奇偶性就是模2取餘，但産生假陰性的概率也高。如果要沖突概率更小，那完全可以用除以99、999等的餘數做驗算。

方法6：條件檢查法

絕大部分題目的條件都是有用的。驗算時可以逐一檢查題目的每個條件是否被有效運用。如果有些條件沒被用到，那就需要想想是不是這些條件确實是幹擾項，還是自己的解法存在問題。

例如下面這道題：

已知∠1=∠2=∠3，圖中所有銳角和為300°，求∠1的度數。

解法1：

300÷3=100°

這個解法當然錯的離譜，更何況100°不是銳角。

解法2：

設∠1=x°，則：

x x x 2x 2x 3x=300°

因此：x=30°

做完後，檢查題目的條件，發現這個解答并沒有用到銳角這個條件！

3x=90°，不是銳角！因此這個答案是錯的。

方法7：重複法

按老方法原封不動地重做一遍确實是許多人驗算的第一想法，但我認為這是驗算的下下策。由于慣性思維的存在，重做一遍很可能會導緻兩次踏進同一條河流。當然，如果确實沒有更好的辦法，那可以作為最後的選擇。

最後，一定不要忘了檢查單位和答句！希望下面的場景不要再出現：

你怎麼又沒寫單位？

啥，答句又忘寫了？

如果最後因為這些問題沒有得到滿分，那着實可惜！

最後，祝大家期末考試順利！

如果想了解更多内容，可以看我的公衆号xuanbamath或讀我的新書《給孩子的數學思維課》

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