作者 | 馬明

來源 | 江蘇教育，1985（10），标題為小編所加，原标題為《善問》。

思維從問題開始。海莫斯又說：“問題是數學的心髒。”這些話都有理。試看，一個學生學習數學的全過程，一位數學家創造數學的全過程，乃至一部數學史發展的全過程，不正是不斷提出問題、解決問題的曆史嗎？

因此，善問是數學教師的基本功，也是所有數學教育家十分重視研究的問題。一個恰當而富有吸引力的問題往往能撥動全班學生思維之弦，奏出一曲耐人尋味，甚至波瀾起伏的大合唱。無怪國際數學教育家G·波利亞在論述講課效果時提出，要“盡量通過問題的選擇、提法和安排(提法和安排尤為重要，因為它要耗費比門外漢所能想象的要多得多的精力)來激發讀者，喚起他的好勝心和創造力，并且給他充分的機會去處理各種各樣的研究對象。”

(一)

首先要在選擇問題上下功夫。

蘇聯教育家巴班斯基在研究教學過程的最優化問題時，提出教學過程的一個中心矛盾是老師向學生提出的學習任務與學生實現這些任務實際可能性之間的矛盾，若提出的要求和任務是處于學生能力的最近發展區，這個矛盾就成為推動整個系統(即教學過程)向既定目标前進的動力，若提得太難或太容易，都不處于他們能力的最近發展區，就不能成為推動整個系統向既定目标前進的動力。就是說，教師的提問要有一定難度，太容易，學生就乏味，太難，就産生畏懼心理，無從思考起。伸手就可以摘到的桃子吃起來總覺乏味，跳一跳才能摘到的桃子吃起來才覺得香甜可口。

1.1 在學習一元二次方程的求根公式時，開始就提出“如何解二次方程”，全班學生會茫然不知所措。而縮小步伐并提出常用的數學思想方法——化歸法，效果就大不一樣。例如，選擇這樣的問題，“如何将：化歸為形如的方程？”(此方程是學生已能解的)這樣的設問就處于學生能力的最近發展區。

1.2 設問還要注意能引起學生學習興趣，激學生學習動機，複數開方是高中數學一大難點，學生對它一般不感興趣。教學中我曾設問：“由于負數開平方，出現了虛數i，如果讓i或-i再開平方，又會出現麼樣的新數呢？——如j、k?”一石擊起千層浪，全班學生坐立不安了，唧唧咋咋，恨不得馬上就要知道結論。

1.3 檢查學生已學過的知識是否真懂了，選擇适當問題尤為重要。

我曾讓一位小學畢業生填下列一道題：

一個雞蛋約重50，一斤這樣的雞蛋約有( ）個。

目的是檢查他對重量單位的理解與換算。一開始他填一個“兩”字。再一想，不對(比西瓜重)，于是改為“錢”字（半斤重的雞蛋！)。

1.4 檢查學生對數學定義是否掌握往往是一件索然無味的事，但如果問題選擇得好，就能改變這種狀況。

“叙述正多邊形的定義。”——這樣設問不一定好，會造成學生死記硬背而且不一定真懂。改為下列問題試試看：

(1)如果内接于圓的多邊形是等邊的，則它是正多邊形；

(2)如果内接于圓的多邊形是等角的，則它是正多邊形；

(3)如果外切于圓的多邊形是等邊的，則它是正多邊形；

(4)如果外切于圈的多邊形是等角的，則它是正多邊形。

(i)指出上述各命題的真僞；

(ii)對五邊形來說，指出上述各命題的真僞。

1.5 對立體幾何中的棱柱下定義，總覺得啰嗦：“有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。”（見現行立體幾何教材)根據棱柱的定義，課本又證明“棱柱的側面是平行四邊形”等性質。

與其要求學生背誦上述定義和側面性質，不如與學生商讨下列問題：

能否将棱柱的定義(打開教材)簡述為“有兩個面互相平行，其餘各面都是平行四邊形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱”？這樣定義不僅簡明，而且“棱柱的側面是平行四邊形”這一性質也勿須證明了。

你能同意這樣去改寫教材嗎？

又是一石擊起千層浪，全班同學認識上發生極大沖突：一部分同學同意，另一部分不同意，但誰也說服不了誰。

1.6 此外，随時改變定理或習題的部分條件，讓學生猜測結論的變化，或引導學生對所研究的問題加以拓廣，常能收到事半功倍，激發學生學習興趣和好勝心，培養學生學習能力和創造能力之效。

(二)

問題的提法常表現出教學藝術性，這可能也是G·波利亞認為“尤為重要”并要教師花費更大精力的原因之一。

2.1 “是幾位數？用對數計算。”學生對此不甚關心。換一種提法，效果就大不一樣。

“某人聽到一則謠言後一小時内傳給兩人，此兩人在一小時内每人又分别傳給兩人，如此下去，一晝夜能傳遍一個千萬人口的大城市嗎？”

起先，誰都認為這是辦不到的事。通過認真計算，發現确能傳遍。(你相信嗎？)

問題出人意料之外，但結論又在情理之中，這樣的發問最能引起學習興趣。(傳謠速度驚人，影響極壞！)

2.2 “三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的内角”，這樣提問意義不大。如果連續發問(見圖1)：

圖1

“你認為∠ACD大于∠B嗎？為什麼？

“你認為∠ACD大于∠B嗎？為什麼？

“你認為∠ACD大于∠B嗎？為什麼？

“∠B是一個不變的量，而我們考慮的與之比較的角是一個逐次變小的量，你仍舊認為∠ACD大于∠B嗎？

“如果讓這種現象一直保持下去，最後會出現什麼結論？”

學生的空間想象能力不僅得到發展，而且對該定理的理解又十分具體，深信不疑。

2.3 “已知兩個同心圓的半徑，求圓環面積。”這是每個學生都會解的問題。

如果把問題換一種提法：

“比赤道長10米的圓，它比赤道圓面積大多少？——有人估猜大不了一丁點，(周長隻長出10米嘛！)可有人估猜用多出的面積來創辦一所大學還綽綽有餘哩！你的意見呢？”

每個學生總想實際算一下，證實自己的猜想。這件工作不做完，他們是不會罷休的。

2.4 書本上習題所給出的條件總是一個不多，一個不少。例如，已知圓台的上、下底面半徑和高，求圓台的側面積，學生隻要把數據代入公式，問題就解決。但這樣一來，就把高中課降為初中課。我曾經換一種提法：“要計算一個圓台形漏鬥的側面積，應測量哪幾個數據？”有些學生就覺得這種題頗費腦筋。

2.5 讓學生求圖2中的陰影面積，這當然容易(隻要用大圓面積減去兩個小圓面積之和)。如果把提法改變一下，便十分有意義：“圖2中有4個量(兩個小圓半徑，大圓半徑R. 以及兩個小圓的公切線在大圓内的長t)，為了計算陰影面積，這4個量中至少要測知幾個？”

圖2

我想，你的答案是至少要測知兩個量(否則圖形不固定)，但是很出人預料，隻要測知一個量就可以了。(你一定還是不相信，那就請你自己試一試吧。)

(三)

把問題安排好是煞費苦心的事。這與母親為孩子安排食物一樣，要注意何時需要吃什麼，安排要能引起食欲。既要做到膳食平衡，又要顧及孩子口味、喜好，等等。這也是教學藝術。

3.1 三角形全等的判定定理剛學過，當然要安排用定理直接證明三角形全等的習題。這是處于模仿的學習階段。往後，或進入複習階段時，就要安排下面一系列較難“消化”的問題讓學生自己去判定：

(1)有兩邊及其中一邊上的高對應相等的兩個三角形一定全等嗎？

(2)有兩邊及第三邊上的高對應相等的兩個三角形一定全等嗎？

(3)有兩邊及第三邊上的中線對應相等的兩個三角形一定全等嗎？

(4)一邊及其它兩邊上的高對應相等的兩個三角形一定全等嗎？

(5)面積和周長對應相等的兩個直角三角形一定全等嗎？

(6)面積和周長對應相等的兩個三角形一定全等嗎？（給能力較強的學生）

3.2 同一種類型的練習太多，學生便乏味。這時就應該安排一點靈活性稍大的問題給學生。

“有一個整數加上100，得出一個平方數，如果加上168，得出另一個平方數。這個數是多少？”

對學過因式分解和方程組的初中學生，這是一道饒有趣味的練習。讓我們也來解一下：

三個未知數，隻有兩個方程。這一點将引起積極思維(或緊張情緒)。但“x、y、z為整數”這一點或者有所補救。再解下去：

兩式相減，得

(z-y) (z y)=68

因為，隻能以三種不同方式分解成兩個因數之積：

68=1×68=2×34=4×17

并且，y和z必須同為奇數或同為偶數，所以隻有一解

解得，y=16，z=18，所以x=156。

3.3 在學生學完“行程”應用題的基礎上，安排下面這道題對全面培養學生分析問題的能力也有所裨益：

“一個人步行5小時。先是走平路，接着上坡，然後轉身，沿同一條路返回到出發點。他在平路上，每小時走4英裡，上坡每小時走3英裡，下坡每小時走6英裡，求步行的總距離。”

“分析一下，這個問題能解嗎？——數據不足，不知道走平路的時間，也不知道走上(或下)坡的時間。估計問題不确定。你同意這種分析嗎？”

還是讓我們具體去解：令x代表步行的總距離，y代表上坡路的長度。路分四段(依次為平路、上坡、下坡、平路)，于是有

兩個未知數，隻有一個方程。性急的學生這時進一步确信“問題不确定”。

然而，耐心地算下去，在歸并同類項時卻發現的系數原來是0。于是剩下的是

思維敏捷的學生，往往又伴随着“性急”。上面的兩次分析表明這類學生是存在的。對他們。還可以安排這樣似非而是的問題：

3.4 “設m是任意正整數，那麼

是成立的。”

性急的學生會立即高喊：“錯了！對數符号是不能約去的。”其實，這個等式是成立的，不信你也去研究一番，但不能性急。

附 文中例題的答案

(1.4)(i)(1) (4)真；(2)、(3)僞，(ii)全真。

(1.5)不能同意。例如，把兩個全等的平行六面體颠倒過來放疊在一起(圖3)，就不是棱柱。

(2.1）一晝夜可傳遍三千四百多萬人口的大城市。

(2.3)圓環面積

=10R

而赤道半徑米，故圓環面積約為平方米。六千多萬平方米的土地當然能創建一所大學。

(2.5) 陰影面積=

所以陰影面積,這說明隻要測知一個量t就可以了。

(3.1) (1)不一定，（2）不一定，(3)一定；(4)不一定，(5)一定；(6)不一定。

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