阿基米德三角形最全結論?作者｜大小吳來源｜大小吳的數學課堂，我來為大家講解一下關于阿基米德三角形最全結論?跟着小編一起來看一看吧!

阿基米德三角形最全結論

作者｜大小吳

來源｜大小吳的數學課堂

阿基米德（公元前287年——公元前212年），偉大的古希臘哲學家、數學家、物理學家，享有“力學之父”、“數學之神”的美譽，其脍炙人口的名言"給我一個支點,我就能撬起地球"至今為人們所津津樂道。

阿基米德傳奇的一生留下了許多為人稱道的故事，相信你一定聽說過鏡子聚光、浮力原理等故事。

公元前212年，古羅馬軍隊入侵叙拉古，阿基米德被羅馬士兵殺死，終年七十五歲。偉人之死的故事有諸多版本，最廣為流傳的故事是這樣的：羅馬士兵闖入了阿基米德的住宅，看見一位老人正在自家宅前的地上畫圖研究幾何問題，阿基米德說：“走開，别動我的圖！”戰士一聽十分生氣，于是拔出刀來，朝阿基米德身上刺下去。自此，一位曠世奇才隕落。

阿基米德在幾何學方面繼承了老師歐幾裡得的衣缽，達到了極高的造詣，其數學思想中蘊含早期微積分的萌芽，并已經十分接近現代微積分。他所缺少的是現代數學的極限概念，但其思想實質卻延伸到了17世紀趨于成熟的無窮小分析領域中去，即使科學巨擘牛頓和愛因斯坦也都曾從他身上汲取過智慧和靈感。

阿基米德在其著作《抛物線求積法》中研究了求曲線圖形面積的問題，并用非常接近現代積分方法的窮竭法得到了這樣的結論：

任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的弓形（即抛物線），其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四。

此命題用現代數學的語言描述如下：

抛物線與直線交于兩點，是中點，在抛物線上且平行于軸，則直線與抛物線形成的弓形面積

為什麼會有這個結論成立呢？今天大小吳就來和大家一起探讨神奇的弓形面積。

首先我們來證明如下定理：若

在高中解析幾何中這類問題比較常見，因為，所以

聯立直線與抛物線方程可得：

則根據韋達定理，兩根和

兩根積

所以點坐标為

即

又由于平行于軸，且在抛物線上，因此點坐标，因此

又因為

所以

即

所以

證明完畢。

有了上述定理，我們可以知道隻與抛物線參數以及

如圖，取中點，中點，并作平行線交抛物線于

顯見，所以

因此增加的兩個小三角形面積之和是倍三角形的面積。

繼續上述操作，取每段新弦的中點作平行于軸的直線與抛物線得到交點，并于弦端點連接，計算所得到的新三角形的面積（和），并将此操作無限重複下去。

剛剛已讨論過，第一次操作，增加的面積為

第二次操作，增加了4個三角形，面積共增加

第三次操作，增加了8個三角形，面積共增加

……

可得到一個公比為的無窮等比數列，随着操作繼續進行下去，這些三角形逐漸填滿抛物線與弦所圍成的“弓形”。

所以

即

證明完畢！

作為21世紀的人類，我們當然可以用更強有力的現代數學工具進行計算，來試試看積分！

弓形面積我們可以通過以下積分式進行計算（不失一般性，假定點在點下方）：

接下來要做的就是一步步認真算下去即可：

把上次聯立抛物線與直線方程得到的結論

代入，原式

而

所以原式

即

即

證明完畢。

阿基米德在其短篇論文《方法》（The Method）中介紹了怎樣用力學的思想證明這個定理，在這個基本上屬于物理性質的推理過程中，他利用了在别處得到的關于重心的一些定理。看完這個證明簡直驚為天人，你不得不折服于阿基米德的天才。讓我們一起來看看這個巧妙的方法：

如圖，給定一任意抛物線，是其中任意一條弦，是中點，是抛物線在處的切線，又設是平行于抛物線軸的直線（在解析幾何中，若抛物線方程為，則平行于軸），直線交于，易證（可用解析幾何證明）

作平行于，設直線交于，根據幾何知識可證，延長到使得。再在弦上任取一點，過點作 平行于，交于，于，抛物線于，同理有

好了，複雜的構圖完成了，準備工作已就緒。

現在阿基米德把弓形和三角形的面積一起進行比較，他把

即

上式從物理的角度來說就是：若把和看作是杠杆的兩臂，其中是杠杆的支點，則若把看作是放在處的重物（假定線段都是有重量的，想想杠杆原理），它就會與放在處的重物相平衡。

因此，把所有像這樣的線段放在處，将與把所有像這樣的線段各自（把質量）集中于其中點（該線段的重心）後放在處的重量相平衡。

所有的疊加是什麼？顯然，之前已經讨論過，即三角形，因此，把所有線段（的質量）集中于其重心處就“相當于”把三角形（的質量）集中于其重心處，而三角形的重心顯然在直線上，且滿足（如圖所示）。

而所有的疊加即為抛物線與直線所圍成的弓形。

則根據杠杆原理，

即

現在相當于知道了三角形的面積是弓形面積的3倍，想想接下來該怎麼做？

是的，若要最終得到三角形的面積與弓形面積的關系，隻要求得三角形與三角形的面積比即可！看看原圖，這裡蘊含着怎樣的幾何關系？

顯然，由于和分别是，中點，因此有

這相當于我們知道了三角形的面積是三角形面積的4倍！也就意味着有

證明完畢!

參考文獻[1]（美）M.克萊因.古今數學思想（第一冊）[M].張理京，張錦炎譯.上海科學技術出版社，1979.

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