基本初等函數總共有五類：

冥函數: y=x^u(u∈R)。

指數函數: y = a^x (a > 0且a≠1)。

對數函數：y=㏒(x) (a > 0且a≠1, 特别當a =e的時候，記為y=ln(x) )。

三角函數: 如y=sin(x), y=cos(x), y=tan(x)等。

反三角函數：若y=arcsin(x), y=arccos(x), y=arctan(x)等。

以上者五類函數統稱為基本初等函數。

由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的函數複合步驟所構成并可用一個式子表示的函數，稱為初等函數，例如：

y=√(1-x²), y=sin²x, y=sin(x) cos(x), y=sin(x) * cos(x)等等都是初等函數。

應用上常遇到一e為底的指數函數y=e^x和y=e^(-x)所産生的雙曲函數以及他們的反函數(反雙曲函數)。他們的定義如下：

雙曲正弦 sh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2。

雙曲餘弦 ch(x)=(e^x e^(-x)) / 2。

雙曲正切 th(x) = sh(x) / ch(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x e^(-x))

這三個雙曲函數的簡單性質如下：

雙曲正弦的定義域為(-∞, ∞), 他是奇函數，他的圖像通過原點且關于原點對稱，在區間 (-∞, ∞)内它是單調增加的，當x的絕對值很大時，它的圖形在第一象限接近曲線y=(1/2) *(e^x), 在第三象限内接近于曲線y=-(1/2) *(e^-x),

雙曲餘弦的定義域為(-∞, ∞), 他是偶函數，他的圖像通過點(0, 1)且關于y軸對稱，在區間(-∞, 0)内他單調減少，在區間(0, ∞)内他是單調增加。ch(0) = 1是這個函數的最小值。當x的絕對值很大時，他的圖形在第一象限内接近于曲線y=(1/2) *(e^x)， 在第二象限内接近于曲線y=(1/2) *(e^-x)。

雙曲正切的定義域為(-∞, ∞), 他是奇函數，他的圖像通過原點且關于原點對稱，在區間 (-∞, ∞)内它是單調增加的， 它的圖形夾在水平直線y=1及y=-1之間，且當x的絕對值很大時， 它的圖形在第一象限接近于直線y=1, 而在第三象限内接近于直線y=-1。

證明：

sh(x y) = sh(x) * ch(y) ch(x) * sh (y)。

、

ch(x y)=ch(x)ch(y) sh(x)sh(y)

除了上面的公式外，還有如下公式，就不一一證明了。

sh(x-y) = sh(x)ch(y) - ch(x)sh(y).

ch(x-y)=ch(x)ch（y）-sh(x)sh(y).

ch²x - sh²x = 1.

sh(2x)=2sh(x)ch(x).

ch(2x) = ch²x sh²x.

雙曲函數的反函數為：

y=sh(x) 反函數：y=arsh(x)

y=ch(x) 反函數：y=arch(x)

y=th(x) 反函數：y=arth(x)

這些反雙曲函數都可以通過自然對數函數來表示，分别讨論如下：

y=sh(x) => x=sh(y) => x= (e^y - e^(-y)) / 2 令u=e^y, 則由上式有u^2 - 2 * x * u - 1= 0

這是關于u的一個二次方程，他的根為u=x±√(x² 1)。因為u=e^y>0, 故上式根号前赢取正号，于是u=x √(x² 1), 由于y=ln(u), 故反雙曲正弦y=arsh(x) = ln(x √(x² 1))。

函數y=arsh(x)的定義域為(-∞, ∞)，它是奇函數，在區間(-∞, ∞)内為單調增加，由y=sh(x)的圖形，根據反函數的作圖法，可得y=arsh(x)的圖形如下圖所示。

類似地雙曲餘弦的反函數y=arch(x)=ln(x √(x²-1),定義域為[1, ∞), 圖形如下：

雙曲正切的反函數y=arth(x) = (1/2) * ln((1 x)/(1-x))。定義域為(-1, 1), 圖形如下：

f(x) = |x|, g(x) = 1 / x, 求f / g。

f / g = |x| * x , 當x >= 0的時候為x², 當x<0的時候為-x²

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