龔昇教授的《簡明微積分》中說，“……Stokes公式是微積分的頂峰，從理論上講，這是微積分的終點……”。注：這裡的Stokes公式指的是廣義的統一公式。
龔昇教授為什麼将這是微積分的頂峰，或者終點，書裡沒有講。我這裡狗尾續貂一下。
本帖讨論斯托克斯Stokes公式的物理意義，結合之前的讨論Guass公式的物理意義的帖子。完整地說明宇宙的守恒性。
我覺得，如果微積分揭示了宇宙中的一個最基礎的規律，或者公理（守恒律也好，光速不變也好，任意規律），那麼微積分中的一個集大成的公式，就可以說是微積分的頂峰和終點了。因為這個公式揭示了宇宙大法，能有什麼比揭示大法更峰的！
讨論Stokes公式之前，先回顧一下标量和矢量。因為Guass公式右邊是對一個數量場的積分，所以整個公式比較好理解。而Stokes公式是對矢量場的積分。所以要先看看這兩種量和兩個類型的場有啥糾葛。
出于某種我不知道的原因，數學和物理學連起來（不知道誰主導）弄出了矢量，說是帶方向的數量。于是，物理中，有了數量場和矢量場。再于是，有了兩種場之間轉換的計算：
在這個宇宙中，數量場到數量場是沒有關系或者運算的，或者說，人民群衆根本不關心一個數量場到另一個數量場。
從一個本末倒置的原因來講，三階外微分形式的外微分算子運算始終為0，即，即便你對一個數量場求類似的求導運算，得到的數量場也是處處為0。
這點看龔昇教授的《簡明微積分》，非常好的微積分教材。
更嚴格地講，是三維矢量（即一階張量）限制了這個額外的度（數量場到數量場的這個度）的産生，如果考察更多維的空間，或者即便在三維空間中，放開對張量的一階限制，應該會産生額外的度。這是我個人猜想~~~
接下去就是Stokes公式了
公式右邊是一個矢量場的旋度，這裡稱它是一個渦流場（不要計較這個詞的嚴格定義）。和Gauss對比，應該能想象這個渦流場是守恒的。
這裡先岔開一下。旋度這個概念比較難搞。微積分中的“三度”——梯度、散度、旋度。前兩者的含義是比較直觀的，因為它們都和數量發生關系。比較難理解的是旋度，因為旋度隻和矢量發生關系，它跟數量沒有任何關系。而矢量的這個概念，沒有物理概念的支撐，是很抽象，很難理解的。而我們最熟悉的物理量“力”，在旋度這個運算上，又會顯得有些不好搞。我是直到看麥克斯韋方程，用電磁場相互關系，才比較好的理解了旋度。電場和磁場本身就是矢量場，兩者相互關系，又是旋度這個運算可以描述的。這樣麥克斯韋方程來思考Stokes公式，就比較容易思考其物理意義。
（岔開完畢）
結合麥克斯韋的電磁關系部分，
麥克斯韋的電磁關系方程可以化為Stokes公式的表述形式。或者符合邏輯的說法是，Stokes公式符合電磁關系方程。（我更偏向後者的說法，因為我總覺得，物理是因，數學是果。）
Stokes公式左邊是表示矢量場的環流效果，代表将産生一個渦流場。右邊表示這個渦流場的源（即另一個矢量場，數量場是不可能産生渦流的）。也就是說，如果一個矢量場能造成一個渦流場（即環流量不為0的矢量場），則矢量場損失的量必然是渦流場的量。把麥克斯韋方程這麼寫就清楚很多了：
如果一個區域内的磁場在持續“失去”，則必然在産生一個渦旋電場。失去的那些量，在該區域邊界計算的渦旋電場的量，一緻。也就是磁場變成了電場。反過來也一樣，如果區域内一個電場在持續失去，則必然在其邊界制造了一個渦旋磁場，且兩者量相等，（麥克斯韋第四個方程描述）。
這就是Stokes公式說明的。由于Stokes公式的右邊是一個矢量的積分。所以它說明的守恒律是矢量場的守恒。于是，我有了關于矢量場守恒的猜想。
矢量場守恒猜想：如果一個矢量場變化産生一個渦型場，且這個矢量場和及其渦型場符合Stokes公式的描述，則這個矢量場必然守恒。這就是Stokes公式的矢量守恒猜想。
還有一個Green公式，由于它是Stokes公式的二維化，所以可以看成是Stokes公式的特例。不作具體分析了。
再岔開一下。
還有一篇帖子，微信上的yubr網友的，《如何理解麥克斯韋方程中的不對稱性》，裡面說到第三個方程的負号的問題。說的也非常好！推導過程很嚴謹！
岔開完畢。我們就《如何理解麥克斯韋方程中的不對稱性》中負号性可以這麼思考。
如果為了“漂亮”，麥克斯韋方程可以寫成（下稱“漂亮形式”）
yubr網友從波動方程出發，說明如果這樣，則會破壞能量守恒。
我從Stokes公式的角度，直觀一點分析，不作任何公式推導。
如果麥克斯韋方程寫成漂亮形式，則說明，如果磁場在變大，則同時在其邊界産生一個渦旋電場。那麼問題就來了，磁場的能量的增多，怎麼渦旋電場也有能量了？這明顯違反了能量守恒，或者說磁通量守恒。不可能說你一方面增大了磁通量，另一方面又要對外有一個渦旋電場能夠作功。
從Stokes公式方面，也可以推導。如果麥克斯韋寫成上面那個樣子，那麼Stokes恐怕必須是：
在矢量看來，我們常用的右手系坐标不能推導出矢量外積，就是矢量的外積跟定義其上的坐标系不對稱了，一個右手，一個左手了，總之弄來弄去就是差一個負号！深究下去，整個數學界的運算都将差一個負号！完全不能自洽！
這不僅僅是差一個負号的問題~~~内褲内穿和内褲外穿，是兩個星球的人！
注一注哈，矢量外積的右手法則是右手坐标系的必然結果，具體看龔昇教授的《簡明微積分》。總之矢量外積的方向是其定義的坐标系的方向，必然是一緻的。
所以說，能量守恒導緻了麥克斯韋方程中的負号，而在數學中，能量守恒使得Stokes方程有這樣的表達，Stokes公式和麥克斯韋方程，通過矢量外積的定義，又完美地相應證。一個是能量守恒的電磁表現，另一個是能量守恒的數學表現。
所以你覺得麥克斯韋的漂亮形式是一個負号的問題，但其實你想破壞的是能量守恒這個大問題！
腦洞一點，如果有一天你穿越到了一個平行宇宙，撿起一本物理書，發現麥克斯韋方程裡沒有這個負号（很漂亮了），那你就要注意了，這個平行宇宙必然存在矢量不守恒。
總結一下，這就是Gauss公式和Stokes公式告訴我們的。它們各自代表着宇宙的守恒律。
到此，微積分完成了它的一個使命，即揭示了宇宙的守恒大法。當然，換個角度，守恒大法也許是每個科學家所要堅持的，或者是信仰。我想，大概也正是這個揭示，龔昇教授所以說統一公式是微積分的終點。
矢量外積交換中的負号性，微分外積交換中的負号性，甚至是否存在超距作用。都可從統一公式中思考一二。這裡先挖個坑
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