【導讀：當今人類即将或者已然了進入智能時代，這是·情報通·人工智能科普系列第[12]篇文章，歡迎閱讀和收藏】

微分在 數學 中的定義：由函數 B=f(A) ，得到 A 、 B 兩個數集，在 A 中當 dx 靠近自己時， 函數 在 dx 處的極限叫作函數在 dx 處的微分，微分的中心思想是 無窮 分割。微分是函數改變量的線性主要部分。微積分的基本概念之一。

df(x)

設函數 y = f(x) 在 x 的 鄰域 内有定義， x 及 x Δx 在此 區間 内。如果函數的增量 Δy = f(x Δx) - f(x) 可表示為 Δy = AΔx o(Δx) （其中 A 是不依賴于 Δx 的 常數 ），而 o(Δx) 是比 Δx 高階的 無窮小 （注： o 讀作奧密克戎，希臘字母）那麼稱函數 f(x) 在點 x 是 可微 的，且 AΔx 稱作函數在點 x 相應于 因變量 增量 Δy 的微分，記作 dy ，即 dy = AΔx 。函數的微分是函數增量的主要部分，且是 Δx 的 線性函數 ，故說函數的微分是函數增量的 線性主部 （△ x→0 ）。

通常把自變量 x 的增量 Δx 稱為自變量的微分，記作 dx ，即 dx = Δx 。于是函數 y = f(x) 的微分又可記作 dy = f'(x)dx 。函數 因變量 的微分與自變量的微分之商等于該函數的 導數 。因此，導數也叫做 微商 。

當自變量 X 改變為 X △ X 時，相應地函數值由 f(X) 改變為 f(X △ X) ，如果存在一個與△ X 無關的常數 A ，使 f(X △ X)-f(X) 和 A· △ X 之差是△ X→0 關于△ X 的高階無窮小量，則稱 A· △ X 是 f(X) 在 X 的微分，記為 dy ，并稱 f(X) 在 X 可微。一元 微積分 中，可微 可導 等價。記 A· △ X=dy ，則 dy=f′(X)dX 。例如： d(sinX)=cosXdX 。

微分概念是在解決直與曲的矛盾中産生的，在微小局部可以用直線去近似替代曲線，它的直接應用就是函數的 線性化 。微分具有雙重意義：它表示一個微小的量，因此就可以把線性函數的數值計算結果作為本來函數的數值近似值，這就是運用微分方法進行近似計算的基本思想。

設函數 y = f(x) 在某區間内有定義， x0 及 x0 △ x 在這區間内，若函數的增量 Δy = f(x0 Δx) − f(x0) 可表示為 Δy = AΔx o(Δx) ，其中 A 是不依賴于△ x 的常數， o(Δx) 是△ x 的高階無窮小，則稱函數 y = f(x) 在點 x0 是可微的。 AΔx 叫做函數在點 x0 相應于自變量增量△ x 的微分，記作 dy ，即： dy=AΔx 。微分 dy 是自變量改變量△ x 的線性函數， dy 與△ y 的差是關于△ x 的 高階無窮小 量，我們把 dy 稱作△ y 的 線性主部 。得出： 當△ x→0 時，△ y≈dy 。 導數的記号為： (dy)/(dx)=f′(X) ，我們可以發現，它不僅表示導數的記号，而且還可以表示兩個微分的 比值 （把△ x 看成 dx ，即：定義自變量的增量等于自變量的微分），還可表示為 dy=f′(X)dX 。

法線

我們知道，曲線上一點的 法線 和那一點的切線互相垂直，微分可以求出切線的斜率，自然也可以求出法線的斜率。

假設函數 y=f(x) 的圖象為曲線，且曲線上有一點 (x1,y1) ，那麼根據切線斜率的求法，就可以得出該點切線的斜率 m ：

m=dy/dx 在 (x1,y1) 的值

所以該切線的方程式為：

y-y1=m(x-x1)

由于法線與切線互相垂直，法線的斜率為 -1/m 且它的方程式為：

y-y1=(-1/m)(x-x1)

增函數與減函數

微分是一個鑒别函數（在指定定義域内）為 增函數 或 減函數 的有效方法。

鑒别方法： dy/dx 與 0 進行比較， dy/dx 大于 0 時，說明 dx 增加為正值時， dy 增加為正值，所以函數為增函數； dy/dx 小于 0 時，說明 dx 增加為正值時， dy 增加為負值，所以函數為減函數。

例 1 ：分析函數 y=x^2-1 的增減性

∵ y=x^2-1

∴ dy/dx=2x

當 x>0 時， dy/dx>0 ，所以函數 y=x^2-1 在 x>0 時是增函數；

當 x<0 時， dy/dx<0 ，所以函數 y=x^2-1 在 x<0 時是減函數 。

變化的速率

微分在日常生活中的應用，就是求出非線性變化中某一時間點特定指标的變化。

比如說，有一個水箱正在加水，水箱裡水的體積 V （升）和時間 t （秒）的關系為 V=5-2/(t 1) ，

在 t=3 時，我們想知道此時水加入的 速率 ，于是我們算出 dV/dt=2/(t 1)^2 ，代入 t=3 後得出 dV/dt=1/8 。

所以我們可以得出在加水開始 3 秒時，水箱裡的水的體積以每秒 1/8 升的速率增加。

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