沉迷數學的史蒂文又來啦！歡迎和我一塊學習。

「圖解數學」系列，根據歐幾裡得幾何推演邏輯，用學生看起來最為直觀的圖形，來講解平面幾何各個知識點。

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在我講平面幾何過程中，聽到很多來自學生的疑惑：那些奇奇怪怪的輔助線 （guideline）誰能想到？想不到這條輔助線這題是不是就做不了了？

事實上，不做輔助線也會有其他方法做，隻不過做輔助線會大大簡化證明過程，所以希望大家在平時學習中，積累一些常見的輔助線的作法，輔助線不是說誰能在考場瞬間想到的，考場的成功都來自于平時的厚積薄發。

比如，已知下面右圖中∠1，∠2，∠3各多少度，求∠4的大小。可做一條輔助線，把圖形拆分成兩個三角形，連用兩次上面所說的重要性質“三角形一個外角等于不相鄰的兩個内角和”。可得出結論：

凹四邊形凹角等于其餘三個角之和。

這就是輔助線的作用：把不熟悉的東西轉化成熟悉的。輔助線的本質是連接已知條件，用虛線搭建橋梁。

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我記得我小時候，特别羨慕班裡會徒手畫五角星（pentagram）的人，我學了一下怎麼一筆畫如下圖的五角星，然而畫的很歪。後來學了幾何知識才知道，無論畫的五角星是正的還是歪的，它五個角之和永遠都是180°！

想想怎麼證明這個有趣的性質吧，可以參考下圖。

值得一提的是：我們對于較為複雜的性質的證明，往往不用最基礎的結論了（如：三角形一個外角等于不相鄰的兩個内角和），而用稍微進階一點的（如：凹四邊形凹角等于其餘三個角之和），這樣就能大跨步的邁向結論了。

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從三角形到四邊形 （quadrilateral），可以聯想四邊形就是兩個三角形拼合而成，進而想到這條輔助線（所以有時候輔助線并不是件難事），得知凸四邊形内角和為360°。

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由三角形的内角和，我們證明出了四邊形的内角和，能不能再計算證明五邊形、六邊形、七邊形……内角和呢？這在數學裡就叫做推廣 (generalization) 了，把一些具體的問題一般化，證明其在更廣闊的領域是對的，這很有用，過程也很難，數學家的精力主要消耗于此。

命題的推廣在真正考題中往往作為某道題的最後一問，需要結合前面的具體結論來證明。有些學生覺得很難，其實，這是有套路的，推廣的常見思路是看看證明特殊問題用到什麼方法，現在還能不能繼續用？

比如我們舉個簡單的例子，證明 n 邊形内角和為（n-2）×180°，我們可以把圖形拆成（n-2）個小三角形，如下圖，即可證得。

每個頂點的外角等于180°減去内角，那麼外角和是多少度呢？大家可以自行試試可否算出和證明。

學到這裡，讓我們來看一下今天涉及哪些知識點：

好，今天你學習了《圖解數學》的第二講，了解了任意五角星的内角和都是180°，也學會了它的證明。

恭喜你，又解鎖了圖解數學的一個新章節。

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下期你将學習：

圖解數學」系列第三講

等腰三角形與等邊三角形

你可能錯過了

圖解數學｜第一講：從歐氏幾何到平面中的線與角

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