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圓與等邊三角形中考題

教育更新时间:2025-02-23 00:02:39

一道初中幾何題-圓與三角形的問題

一個等邊三角形ABC的邊長為12，其外接圓内部有一個内切圓，切點為T，并且這個内切圓與等邊三角形AB和AC的兩個邊相切，切點為P和Q，求PQ的長度。

圓與等邊三角形中考題（一道初中幾何題-圓與三角形的問題）1

解：如圖所示，做輔助線AT和BT，N是AT與PQ的交點。并設内切圓的圓心為M，連接MP，

圓與等邊三角形中考題（一道初中幾何題-圓與三角形的問題）2

解題思路是求出内切圓的半徑MP，然後在三角形MNP中，利用直角三角形30-60-90度的特性，求出另一個直邊 NP，就可以求出PQ。

設大圓的半徑為R，小圓的半徑為r, MT=PM=r,

顯然AT=2R, AM=AT-MT=2R-r,

BT=R (這是因為AT=2R，而直角三角形∠ABT=30°)

根據直角三角形APM相似于直角三角形ABT，有：

PM/BT=AM/AT

即：

r/R=(2R-r)2R,

由此解出：

R/r=3/2

r=2R/3

對于一個邊長為12的等邊三角形，其外接圓的半徑為中線長的2/3，所以

R=12x(√3)/2x(2/3)=4√3

最後回到直角三角形MNP，根據30-60-90度的直角三角形的邊長關系有：

NP=MPx(√3)/2=r(√3)/2=2R/3x(√3)/2=4

所以PQ=2NP=8

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