成為物理學大師是一個漫長的過程，需要做大量的思考和研究，本文将讓你邁出第一步。

我們經常談論物理學，好像它僅僅是一些事實和方程式。F=ma、能量既不能被創造也不能被毀滅、E=mc^2、恒星是由氫氣聚變成氦氣和更重元素的巨大球體等等。這些事實和方程式既可以構成我們理解的基礎，也可以是我們理解的結果，但做物理學就是要把這兩者聯系起來。

我不可能把每一個問題中使用的每一個技巧和準則都說出來，這裡我介紹一下物理學中最常用的一些技巧和準則。

你可以使用方程來解決相當數量的問題，有n個未知量就需要列出n個獨立方程。

例子：天體力學

如果太陽的質量是目前的百分之一，而地球的軌道不變，那麼地球要花多長時間才能繞太陽一圈？

開普勒第三定律将太陽的質量、軌道的半徑/半主軸和軌道的周期聯系在一起，因此我們可以通過解開普勒第三定律中的T并插入我們已經知道的數值來得到周期。

一個高級技巧

每當你遇到一個物理問題，在一個公式中改變了幾個數值（在本例中，太陽的質量），試着用改變前的數值來表示答案。對于這個問題，我們不必查找任何物理常數，甚至不需要計算器。

請注意，藍綠色的表達式是一樣的，所以我們可以把它代回來，除了地球繞太陽一周需要一年的時間外，不需要知道任何東西。你可以通過用地球的周期除以新的周期，并将其約去，得到類似的結果。

延伸

我隻讨論了有一個未知數的奇異方程的情況，但是如果有n個未知數呢？我們将在後面讨論具體的例子。

多去嘗試

如果你無法理解題意，無從下手，那麼利用你所得到的信息做一些嘗試，即使你不知道是否有用。物理學經常要求我們利用已知道的信息，找到一個能得到更多信息的方程式，然後重複這個過程，直到有足夠多的信息來回答問題。

例子：運動學

一架質量為m的飛機以一個恒定的合力F從靜止到達速度vf ，需要多長的跑道？

“跑道需要多長 ”讓我們求一個距離。現在已經知道的是質量、力、初速度和最終速度。你可能想盡可能地使用一個明确的方程，但對于這個問題是不能的。因此，利用所給的信息，去尋找隻包含一個變量的方程，你會發現經典的F=ma，而你已經知道F和m，所以很容易求出a，即加速度。重複上面的思考過程，你會發現其中一個運動學方程有a、s（距離/位移）、vi（初始速度）和vf（最終速度）。

這樣，我們很容易得出問題的答案。随着你的經驗越來越豐富，你會記住一些規律，如 "用F=ma，然後用運動學方程來獲得速度、時間或距離"。

但我之所以能想出這些方法，是因為我一直遵循這一準則，不斷犯錯，并從中吸取教訓。在解決一個問題時，犯錯的方法隻有這麼多。隻要你不斷嘗試，盡量不犯你已經犯過的錯誤，你就會沒有錯誤可犯了。

單獨看每個維度

在笛卡爾坐标中，每個維度都是正交的。在實踐中，可以創建一個每個維度有一個方程的方程組。

擴展

在更高層次的物理學中，你會看到這種方法的一些擴展：利用對稱性來減少必須考慮的方程數量，變量分離法，以及本征函數展開方法（你可以把每個本征函數當作一個獨立的維度）。

例子：彈道學

忽略空氣阻力，假設地球的曲率可以忽略不計，那麼炮口速度為v的大炮的最大地面射程是多少？

我們可以單獨考慮x和y維度，并使用運動學方程來解決問題。我們必須用正弦和餘弦将速度分成x和y兩部分。由于我們有一個由兩個方程組成的系統，因此可以有兩個未知數。但這個問題似乎有三個未知數，因為我們不知道θ，即大炮發射的角度。但我們可以得到另一個方程，因為還有“射程最大化”這個條件，可以用一個未知數得到射程，然後取射程相對于該未知數的導數，将其設為零，在新方程中求解該未知數，然後選擇得到最大值的解。

在這種情況下，我們知道：

• 初始位置：(0, 0)
• 初始速度矢量：(v cos θ, v sin θ)
• 加速矢量：(0, -g)

我們也知道最終的y位置，因為射程最大時炮彈将落地，所以y為0。

兩個運動學方程将初始速度和初始加速度與位置聯系起來，每個方程都有一個不同的未知數。如果我們使用将最終速度作為未知數的那個方程，我們最終會得到：

在X方向和：

在y方向上，我們取負解因為炮彈落地時向下運動。這個運動學方程沒有給出距離，因為我們不能用一個方程的信息來解決另一個方程，反之亦然。如果我們改用以時間為未知數的運動學方程：

結果是：

這意味着我們可以通過用θ求解t，反之亦然。看一下y方程就會發現：

我們選擇了t的非零解，因為炮彈在t = 0時位于（0，0）。因為我們用θ表示t，我們可以把它代回到方程中，得到：

現在，唯一的未知數是θ，所以我們要找到使射程距離最大化的角度，通過使用前面描述的過程得到：

解這個方程有多種方法，但我打算用純數學的方法來解（這在以後的數學和物理學中會更有用，盡管它對這個問題來說是多餘的）。我打算使用弧度，因為數學和物理學通常用弧度更容易：

利用一些基本的數學知識，就可以得到最終的答案：

例子：平衡力

一輛汽車以恒定的加速度向前移動。如圖所示，在汽車内部，一個質量為m的平衡環挂在一根緊繃的繩子上，與直挂的角度相差θ。确定汽車的加速度。

環上有三個力。

• 汽車的加速度
• 重力
• 繩子的拉力

由于我們處理的是一個已知淨加速度的物體上的力（即0，因為它處于平衡狀态），而且我們知道所有力的方向，我們可以畫一個受力圖：

請注意，來自汽車的力完全在X方向，來自重力的力完全在Y方向，而來自繩子的力有X和Y兩部分。和前面的問題一樣，我們可以用正弦和餘弦将拉力分解成x和y兩部分。由于θ是相對于正y軸而言的，我們通過乘以cos(θ)而不是sin(θ)來得到拉力的y分量。同樣地，我們必須乘以sin(θ)，才能得到拉力的x分量。通過将這個系統分解成每個維度的一個方程，我們最終得到了：

你可能會想，這裡卡住了，因為我們現在不知道除了重力以外的任何力。我們可以嘗試一些方法，用F=ma來代替所有的力，由于所有的力都在影響環，我們可以做以下的事情：

之後，我們求解汽車的加速度，最後得到一個由拉力和θ組成的加速度的表達式。

我們知道θ，所以我們需要另一個方程，将拉力的加速度與我們知道的其他東西聯系起來。把後面的加速度的表達式插入汽車的加速度中，通過下面的過程，我們得到了最終的答案g tan(θ)。

請注意，你不需要知道環的質量，盡管問題中已經給出。在現實世界中，你經常會有比你需要的更多的信息，所以你需要弄清楚哪些信息需要使用，哪些需要忽略。

例子：電場的對稱性

有一條無限長的電荷線，電荷密度均勻（為 λ）且沒有電流，那麼距離該電荷線r處的電場強度是多少？

這個問題需要用矢量微積分來完全理解，但一般的對稱性原則仍然成立。

如果你願意，你可以對整個電荷線進行積分，得到一個答案。但是利用高斯定律可以一眼看出答案（我可以告訴你答案是λ/(2πεr)，因為用高斯定律計算是很容易的。然而，為了盡可能有效地使用高斯定律，我們必須找到一個完整的表面，可以在導線的任何地方使用，使電場相對于表面的大小和方向不發生變化。利用對稱性來計算出表面，設置一個坐标系，使電荷線沿着Z方向并且假設所有電荷都是正的（意味着電場指向遠方。

由于電荷線是無限長的，所以電線上的每一點在兩側相同的距離上都會有相同的電荷量。

這個事實讓我們可以作以下兩個假設：

• 電線沿其長度方向具有平移對稱性，這意味着電線的Z分量并不重要，我們可以選擇電荷線的任何部分來繪制所需要的表面。

• 電場的Z分量為零，因為電荷分布在每個點周圍的Z方向上是對稱的。

• 這個場是不可能的，因為它有一個正的Z分量。

• 所有可能的場都沒有Z分量。

我們還可以注意到，繞着電荷線旋轉并沒有改變電荷的分布，所以我們也有旋轉對稱性，這意味着電場不可能看起來像這樣：

• 使用numpy和pyplot繪制的

其中，紅點是垂直于屏幕的導線。它也不可能看起來像這樣：

因為磁場是恒定的（具體來說是0），而且麥克斯韋-法拉第方程意味着它沒有任何曲率。因此，電場隻能看起來像：

箭頭的長度會有所不同，但這是正确的方向。

在這一點上，我們要找的是一個可以圍繞電荷線旋轉或沿着電線滑動的表面，這意味着我們可以用一個以電線為中心的圓柱體作為我們要找的表面。因此，在這種情況下，高斯定律就是：

長度為L的圓柱體中所包含的電荷量隻是Lλ，所以方程的右邊已經解決了。通過表面的總磁通量是通過圓柱體兩端和圓柱體側面的磁通量之和。把這些帶進去就可以得到：

由于電場垂直于圓柱體的底部(用表面法線表示通量)，所以它們的通量為零。

由于電場直接指向圓柱體的側面，積分中的點積就變成了二維積分，這隻是圓柱體側面的表面積。我們可以通過一些代數得到答案。

随着經驗的積累，你會認識到圓柱體的對稱性，這時你就可以不費吹灰之力從高斯定律到數學了。

使用守恒量

盡管你可以用力和力矩來計算經典力學中任何東西的運動，從而計算出其他相關的量，但這樣可能會很麻煩。如果你想知道一個從直線坡道上滾下來的球（沒有打滑和空氣阻力）在坡道底部的速度是多少，那麼你可以使用力和力矩，即使工作量很大。

• 所有的力自始至終都是一樣的。

那如果是弧形的坡道呢？你将不得不計算一個力的路徑積分，這取決于位置的變化。

在最好的情況下，即使你得到了一個解，也會花費非常多的時間。相反，尋找守恒量可以讓你迅速得到一個正确的答案。在物理學問題中，最常見的三個守恒量是

• 線性動量：系統上沒有淨外力意味着總的線性動量是守恒的。
• 總機械能：系統中的物體沒有空氣阻力、滑動、摩擦或損壞，可能意味着系統的總機械能是守恒的。用更專業的術語來說，如果每一個點上的所有力都形成一個保守的矢量場，那麼能量是守恒的。如果問題指定的是彈性碰撞，那麼總機械能也是守恒的。
• 角動量：物體會旋轉，沒有淨外力矩。

如果你能得到線性動量或角動量守恒，你就能得到每個相關維度的方程式。如果能量是守恒的，你可以得到一個自由方程，這個方程往往可以讓你以較少的努力得到更多的信息。

例子：動量和能量守恒

一個宇航員在太空中把一個在位置（-1，-3）的球撞向另一個在位置（0，0）的同等質量的球，然後這個球繼續撞向位置（2，3）的牆。在碰撞之前，第一個球以速度vi運動。碰撞後兩個球的速度是多少？假設沒有摩擦，沒有空氣阻力，沒有重力，也沒有旋轉。

機械能是守恒的，因為問題告訴我們碰撞是彈性的，所以這将得到一個方程式。我們還可以從動量守恒中得到一些方程，因為球上沒有外力。我們有三個未知數：

• v1，第一個球的速度
• v2，第二個球的速度
• 碰撞後第一個球的方向

我們知道第一個球在碰撞前的方向，因為它從（-1，-3）到（0，0）。同樣地，我們知道第二個球的方向，因為它從（0，0）到（2，3）。接下來，我們将對這些向量進行歸一化處理（用它們的長度除以它們的長度），這樣我們最終隻得到方向。我們将在這些向量上加一個^，這樣我們就知道它們是單位向量了。

我們對v2的處理過程與對vi的處理過程相同。現在我們有了單位向量，我們可以把這些向量表示為大小和方向的乘積。

我們先看一下動量方程：

現在我們有了一個關于v1的明确方程，我們就可以看一下總機械能方程了。請注意，由于v1是一個矢量，我們可以将其與自身作點積，得到其大小的平方，這就是我們在動能方程中需要的。

由于向量之間的點積是一個标量，我将用符号C來代替它。

現在，我們把它帶入總機械能方程中，最終得出問題的答案。

舍棄v2=0的解，因為我們知道v2不為零，所以我們隻剩下另一個解。我們把v2的結果帶回v1的方程中，就完成了。

例子：能量守恒

一個質量為m、半徑為R、密度均勻的球開始從一個斜坡（不一定是平的）上滾下來，沒有空氣阻力，沒有滑動。球在到達坡道前有一個初始速度vi。坡道的頂部比坡道的底部高出h米。當球到達坡道底部時，它的速度是多少？

由于既沒有空氣阻力也沒有滑動，我們可以使用能量守恒。在坡道的起點和坡道的底部都有重力勢能、平移動能（質量和速度）和旋轉動能（慣性和角速度）。假設底部的勢能為0，以使數學計算更容易。

由于它在任何一點上都沒有滑動，因此在每一點上：Rω=v，這意味着還有兩個與速度和角速度有關的方程：一個在開始，一個在結束。最後，需要知道球體的慣性矩，我們可以通過直接積分或查表來得到。

将所有内容帶入能量方程中，可以得到：

消去質量：

還可以使用Rω=v的替代方法，将變量的數量減少到一個未知數和三個給定變量。然後可以求出最終的速度。

你可能認為最終速度應該取決于質量或物體的半徑，但事實并非如此。注意，沒有空氣阻力，唯一被添加到球體上的能量來自于重力，它為物體提供了一個恒定的加速度（無論質量如何）。同樣，更大的半徑意味着更大的慣性力矩，但由于沒有滑動，角速度、速度和半徑被限制在這樣一種方式中，旋轉動能與半徑無關。

概括

如果我們讓c是轉動慣量和質量乘以旋轉半徑的平方的比值，我們就能得到通解：

如果物體沒有慣性矩或者不能旋轉（比如說一個在沒有摩擦力的表面上滑動的盒子），我們就會得到标準的運動學方程式

了解導數

這個小标題有點不準确，"了解各種量之間的基本關系 "會更準确，這些關系大多是用導數（或等價的積分）來定義的。所有五個運動學方程都可以從速度是位置的時間導數、加速度是速度的時間導數以及恒定加速度的假設中得出。其他重要的物理學關系是：

• 力是動量的時間導數和勢能的負梯度（一種通用的空間導數，可以用不同的坐标系和任何數量的維度來表示）。

• 扭矩是角動量的時間導數。

• 在一個非旋轉系統中的功是力相對于位置的路徑積分。

• 旋轉系統中的功是扭矩相對于角位置的路徑積分。

不到萬不得已，不要帶入數字

因為我在所有的例子中都使用了這一技巧，所以我就不舉例說明這一準則了。把所有東西都放在變量裡有幾個好處：

• 你可以通過改變給定值的邏輯極端來判斷答案是否有意義
• 在一系列算術運算中找到導緻錯誤的具體步驟比在一系列代數運算中找到錯誤要難得多。
• 變量通常會被抵消，使方程更簡單。

最後

物理學主要是以一些具體的事實和方程為基礎的數學。學習數學會給你帶來新的方法、捷徑，以及對物理學更深的理解。對于基礎物理學（動量、能量、力、扭矩等），我建議學習一些基本的線性代數（向量、點積和叉積）、三角學和單變量微積分。對于基礎電磁學，我建議學習多變量微積分。跟進一步，我建議學習常微分方程和偏微分方程。雖然我可以把我所知道的東西都告訴你，但最好的方法是通過不斷試錯去鍛煉自己。。

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