在數學、物理學和工程力學等諸多領域，矢量是很一個重要的概念。簡單的去理解它，就是帶方向的量，比如力F，速度v等都要作矢量分割。尤其在工程力學領域，兩個不方向的量，其性質可能會有本質的區别。比如下圖：

這是一個對曲杆進行内力分析的微分單元。

在這個微分單元的左側，對于軸力N，其在切向上的分矢量N*sin θ/2，和剪切力Q的分矢量Q*cos θ/2構成剪切力的合力；而剪切力Q也一樣，其在軸向上的分矢量Q*sin θ/2，和軸力N的分矢量N*cos θ/2構成軸力的合力。

在這個微分單元的右側，是對左側進行一個微增量後的結果。比如，軸力有微增dN，而dN=q(s)*rdθ，其中rdθ替代的是曲杆的微弧長dl。對于dN，仍然要進行矢量分割，dN*sin θ/2計入剪切力，dN*cos θ/2計入軸力。最終求積的微分中一定會有這樣的存在：r*sin θ/2*dθ或r*cos θ/2*dθ。

從某種意義上說，微積分本身就是應曲線研究而生的。曲線微增量dl是無法取值的，隻能轉換成dl=rdθ，再換算成X軸和Y軸的分矢量r*cosθ*dθ和r*sinθ*dθ。這使得我們在用微分積解決問題時，非常大的概率會遇到三角函數求導數或求積分。

可以說，三角函數是微積分中最重要的基本函數，在十六個簡單導數中它占了十個之多。

既然明确了三角函數的重要性，那我們不妨進一步了解一下這十個簡單導數的求導過程。

1、正弦函數y=sin x;

(sin x)'=lim(h→0)[sin(x h)-sin x]/h

=lim(h→0)[2cos (x h/2)*sin h/2]/h

=lim(h→0)cos (x h/2)*lim(h→0)[sin h/2/(h/2)]

=cos x

2、餘弦函數y=cos x;

(cos x)'=lim(h→0)[cos(x h)-cos x]/h

=lim(h→0)[-2sin (x h/2)*sin h/2]/h

=lim(h→0)[-sin (x h/2)]*lim(h→0)[sin h/2/(h/2)]

=-sin x

3、正切函數y=tg x;

(tg x)'=(sin x/cos x)'

=[(sin x)'*cos x-sin x*(cos x)']/cos^2 x

=(cos^2 x sin^2 x)/cos^2 x

=1/cos^2 x

=sec^2 x

4、餘切函數y=ctg x;

(ctg x)'=(cos x/sin x)'

=[(cos x)'*sin x-cos x*(sin x)']/sin^2 x

=-(sin^2 x cos^2 x)/sin^2 x

=-1/sin^2 x

=-csc^2 x

5、正割函數y=sec x;

(sec x)'=1/cos x

=[(1)'*cos x-1*(cos x)']/cos^2 x

=sin x/cos^2 x

=sec x*tg x

6、餘割函數y=csc x;

(csc x)'=1/sin x

=[(1)'*sin x-1*(sin x)']/sin^2 x

=-cos x/sin^2 x

=-csc x*ctg x

7、反正弦函數y=arc sin x;

因為y=arc sin x是x=sin y的反函數，所以有，(arc sin x)'=1/(sin y)'=1/cos y。接下來，我們把餘弦cos y轉換成正弦sin y，并進一步轉換成x。

因為，cos y=√(1-sin^2 y)=√(1-x^2)，所以有，(arc sin x)'=1/√(1-x^2)。

8、反餘弦函數y=arc cos x;

因為y=arc cos x是x=cos y的反函數，所以有，(arc cos x)'=1/(cos y)'=-1/sin y。接下來，我們把sin y轉換成餘弦cos y，并進一步轉換成x。

因為，sin y=√(1-cos^2 y)=√(1-x^2)，所以有，(arc sin x)'=-1/√(1-x^2)。

9、反正切函數y=arc tg x;

因為y=arc tg x是x=tg y的反函數，所以有，(arc tg x)'=1/(tg y)'=1/sec^2 y。接下來，我們把sec y轉換成餘弦tg y，并進一步轉換成x。

因為，sec^2 y=1 tg^2 y，所以有，(arc tg x)'=1/√(1 x^2)。

10、反餘切函數y=arc ctg x;

因為y=arc ctg x是x=ctg y的反函數，所以有，(arc ctg x)'=1/(ctg y)'=-1/cec^2 y。接下來，我們把cec y轉換成餘弦ctg y，并進一步轉換成x。

因為，cec^2 y=1 ctg^2 y，所以有，(arc ctg x)'=-1/(1 x^2)。

有這十個三角函數的導數做基礎，再也不用擔心曲線分析了。

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