如果在學術同行針對一個問題百思不得其解，投入大量研究方能得解之時，有時用一晚的時間解開一個方程，已經是對學術對手的重擊。

講一段微積分發明權争奪戰裡，關于兩個微積分曲線函數方程問題求解的曆史故事吧。

十七世紀末，正是牛頓和萊布尼茨兩大山頭争奪微積分發明權大戰一觸即發的時刻。

大風起于青萍之末，起初的争論中雙方均未出手，僅僅是在二人的支持者中小範圍地發動。其中萊布尼茨陣營中的主力旗手，是來自瑞士的伯努利兄弟：雅各·伯努利（Jacob Bernoulli）及約翰·伯努利（Johann Bernoulli）。

伯努利兄弟出自瑞士傳奇世家，伯努利家族三代之中誕生八位科學家，家族一百多位後裔均在曆史上占有一席之地。哥哥雅各布·伯努利生于 1654 年，本藝術與神學碩士出身，長于微積分、無窮級數求和，更承接費馬和帕斯卡的研究，成為概率論領域的大師。

弟弟約翰·伯努利，晚于哥哥雅各布 13 年出生，數學天賦更勝其兄，他讀到萊布尼茨的微積分論文時，還隻是 21 歲的青年，他在讀醫科學系，卻跟從哥哥雅各布學習數學技巧。

在跟随哥哥學習萊布尼茨的微積分理論僅僅兩年，他靠着遠過于哥哥的天賦，已經積累了與雅各布同等的數學功底，他以萊布尼茨為自己的師長，二人迅速地建立起通信聯系。

當時英國皇家科學院出于民族榮譽，力主牛頓是微積分的真正發明人；而約翰·伯努利力撐老師，指責牛頓才是剽竊者，并力主萊布尼茨與牛頓直接對抗。

伯努利兄弟之間的情誼實不甚深，二人之間甚至成為了強勁的競争對手。約翰在數學領域的研究後發而先至，他提出的洛必達法則成為了求極限問題的重要算法，也是如今考研涉及到的高等數學重要考點。

約翰·伯努利曾經輔導過洛必達侯爵，天賦有限的侯爵為了在數學史上占有一席之地，直接出版彙編了約翰·伯努利的研究成果，并向伯努利提供大量金錢以為補償。他出版的數學專著《無窮小分析》除了書名基本全部内容都是約翰所作，取得巨大的影響。約翰在洛必達在世的日子裡，對代寫著作一事三緘其口，侯爵最終得償所願，高數課本裡重要的洛必達法則至今仍冠以其名。

這對兄弟之間最初的不快起于懸鍊線研究，懸鍊線問題試圖求出：

當一條繩子兩端固定，中間自然下垂時所自然形成的曲線形狀，

懸鍊線長這樣(如右圖所示)：

看來簡單，但一直未有定論。這個問題曆史悠久，達芬奇就曾經思考過這個問題（他曾經研究過，如果要繪畫戴項鍊的女人，那項鍊的曲線應該怎麼畫）。

後來學術界的伽利略、惠更斯、萊布尼茨都曾對此進行過思考。很多人猜測懸鍊線是一條抛物線，雅各布決心以微積分為武器加以證明，未能建功。約翰在哥哥進行了整整一年的無效嘗試後，隻用了一夜便求出結果，是一個雙曲餘弦函數，方程長這樣：

發布結果後，他專門以自誇的語調寫下與哥哥交流的全部過程。雅各布感到被嚴重打臉，引以為奇恥大辱。

約翰随即于 1697 年提出“最速降線”問題向全歐洲數學界提出挑戰，這題看上去非常簡單：

如有小球從高點自然滾下，連接起點和終點的何種曲線形狀的導軌，可以令滾落時間最短。

約翰·伯努利以得意的語調，宣布自己早已得知問題的答案，隻待有識之士以同等智慧摘取桂冠。

更重要的一環是：當年微積分發明權争端中，牛頓靠着英國皇家學會的力挺，以及剛出版不久的巨著《論自然哲學的數學原理》的作者身份，一直處于優勢。懷着為老師出頭的心态，約翰在聲明中，專門對牛頓加以暗諷，并專程将問題寄往英國，來看這位自稱先于老師萊布尼茨發明了微積分的數學家是否當真名符其實。

以約翰·伯努利的造詣，已經可以用天才來形容。然而年輕的天才在學界第一人牛頓面前，還是出現了後人眼中人類常見的第三大錯覺：

“我能反殺。”

牛頓當時已經離開生活三十年的劍橋，前往倫敦工作整整一年，時年五十三歲的科學家位列英國造币局局長。局長本為養老閑職，可牛頓卻以科學家的精密和前所未有的熱情對整個造币局加以改造，以鐵腕迅速攫取并擴大的造币局長的權力。他提高造币廠産能，與造僞币者鬥智鬥勇，成為出色的大英官僚。

在約翰·伯努利的挑戰信函寄到倫敦牛頓的府邸之時，他剛剛忙完當日鑄造新币的工作到家。精疲力竭的牛頓見信憤怒異常，直言：

“我不喜歡在數學問題上被外國人戲弄。”

随後他拿起伯努利的信函，直接計算到翌日淩晨。得到正确答案，牛頓隻需要一夜：

最速降線是旋輪線。旋輪線标準函數方程長這樣(如右圖所示)：

那一年的複活節将近之時，約翰·伯努利收到了四份正确答案。他的老師萊布尼茨和學生洛必達侯爵通過此前長久的研究，都給出了正确解答。他的哥哥雅各布也提交了正解。

而給他最後重擊的則是最後一份答案。那份答案論證清晰流暢，沒有署名，隻是在信封上蓋有來自英國的郵戳。

約翰·伯努利看着紙上優美的論證，帶着羞惱與敬畏感歎：“我從他的利爪，認出了這頭獅子。”

所以，無論是約翰·伯努利一晚算出懸鍊線方程打臉雅各布·伯努利，還是牛頓用一晚求解最速降線——當真能用一晚解開超難的方程還能正确得解，已經是足以大殺特殺的成就。

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