直角三角形三邊圖形?勾股定理 在圖形的研究中，直角三角形是最為基礎的，也是最為重要的大概正因為如此，幾乎所有的古代文明都研究了直角三角形，并且在許多古代文明的曆史文獻中都明确地記載了與直角三角形的邊長關系密切的三個數值：3，4，5在中國，這三個數值最早記載在《周髀算經》之中，書中說到，商高答周公：，我來為大家科普一下關于直角三角形三邊圖形?以下内容希望對你有幫助!

直角三角形三邊圖形

勾股定理

在圖形的研究中，直角三角形是最為基礎的，也是最為重要的。大概正因為如此，幾乎所有的古代文明都研究了直角三角形，并且在許多古代文明的曆史文獻中都明确地記載了與直角三角形的邊長關系密切的三個數值：3，4，5。在中國，這三個數值最早記載在《周髀算經》之中，書中說到，商高答周公：

勾廣三，股修四，徑隅五

這就是說，一個直角三角形，如果兩個直角邊（勾，股）的長度分别為3和4，那麼斜邊的長度為5。三國時代的趙爽注《周髀算經》時，對這個問題給出了一般的結果并對結果給出了證明。令兩個直角邊為a和b，斜邊為c，那麼三個邊長之間的關系為

a² b²=c² (1)

我們稱上述定理為勾股定理，并把滿足上式的整數解稱為勾股數，這是由三個整數構成的數組。在西方稱這個定理為畢達哥拉斯定理，稱這個數組為畢達哥拉斯數。顯然，（3，4，5）是一組勾股數，并且是一組最小的勾股數。在尼羅河三角洲發現的，大約為公元前兩千年的卡呼恩紙草書上有這樣一個題目：

“将一個面積為100的大正方形分為兩個小正方形，一個邊長為另一個邊長的四分之三”

這個答案恰為一組勾股數（6，8，10）。古埃及人是這樣得到結果的：如果b=1，那麼a=3/4，于是由（1）式可以得到c=5/4。現在c=10，是5/4的8倍，這樣就可以得到結論：a=(3/4)×8=6,b=1×8=8。這裡用到了“兩個三角形相似當且僅當這兩個三角形的對應邊成比例”這個命題，而這個命題卻是我們今天初中數學教學的難點之一，那麼古埃及人是如何直觀地得到這個命題的呢？我想，大概是巧妙地應用了勾股定理，我們對這個問題分析如下：

在我國初中數學的“圖形與幾何”的教學中，關于相似形，隻給出了多邊形相似的定義：如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊成比例，則稱這兩個多邊形相似。顯然，這個定義沒有回答存在性，即沒有給出“對于任意給定的邊之間的相似比例，相似多邊形都是存在的”這樣的命題。這樣，把多邊形相似的定義應用到三角形時就出現了問題，因為對于兩個三角形相似，隻需要對應邊成比例。這意味着，兩個對應邊成比例的三角形，對應角也一定相等，但是，要證明這個命題卻是相當煩瑣的，這也是現在中學數學教學中比較難處理的問題之一。現在，我們嘗試性地回歸古埃及人的思考。

首先，古埃及人清楚地知道：一個三角形是直角三角形當且僅當勾股定理成立，也就是說，不僅知道直角三角形地三個邊長滿足（1)式，而且知道邊長滿足（1）式的三角形是直角三角形。甚至很多數學史的專家認為，古埃及人在修建金字塔時，就用了（3，4，5）這組勾股數來決定直角。那麼，對于兩個三角形Δ₁和Δ₂，假設邊長分别為a,b,c和A,B,C，如圖（1）（a)所示：

如果Δ₁是直角三角形，并且與Δ₂的對應邊之間成比例，即a/A=b/B=c/C，則由勾股定理知道Δ₂也是直角三角形，并且角α與角β相等，這樣就可以得到圖（1）（b)。于是得知這兩個直角三角形相似，即直觀地得到“兩個直角三角形的對應邊成比列則這兩個三角形相似”這樣的命題。因為任意一個三角形都可以化為兩個直角三角形，因此也不難得到“兩個三角形的對應邊成比例，則這兩個三角形相似”的一般結論。

在上面的計算中，用到了直角三角形的邊角關系，即在圖（1）（a)中有

∠α=∠β 當且僅當b/a=B/A (2)

可以看到，上式構建了三角函數的直觀基礎：在任意兩個直角三角形中，如果有一個銳角相等，那麼這兩個直角三角形的直角邊之比就對應相等，也就是說，等角對應的直角邊之比是一個常數。于是，人們可以定義這個常數值，比如稱其為正切值，即（2）式右邊的比值恰為角α（因而也為角β）的三角函數正切值。可以看到，因為生産實踐的需要，古埃及人已經創造出許多計算圖形長度，面積，體積以及邊角關系的方法，但是，更讓人們吃驚的卻是在兩河流域的發現，有的學者認為，在公元前1600年以前的古巴比倫人就已經作出了三角函數的正切表，這當然與勾股數有關。

古巴比倫

奔流不息的底格裡斯河和幼發拉底河發源于現今的土耳其，流入波斯灣，這兩條河流澆灌出了美索不達米亞平原，也養育了兩河流域文明。公元前19世紀，在這片土地上曾經建立了一個強盛的巴比倫王國，其首都在巴比倫城，因此人們也稱這裡的文明為古巴比倫。事實上，兩河流域文明延綿三千多年，古巴比倫是兩河流域文明最重要的組成部分，但不是全部。關于巴比倫城，希羅多德在《曆史》這部書中是這樣描述的：

“這座城市位于一個大平原之上，形狀是正方的，每一面有120斯塔迪昂長，因此它的周圍就一共是480斯塔迪昂了。這座城市的幅員有這般大，而它的氣派也是我們所知道的任何城市所難以相比的。

有一條河從中間把全城分成兩部分，這條河便是幼發拉底河，這是一條又寬又深，而且水流湍急的河流。它發源于阿爾美尼亞，流入紅海”

希羅多德

其中長度單位一個斯塔迪昂大約為211-224米，如果希羅多德的記載是可靠的，那麼古巴比倫城一面的長度大約為26千米，整個城市的占地面積大約為670平方千米，相當于現在的新加坡，這确實是一個相當大的都市。但是，希羅多德《曆史》中的許多記載都是不可靠的，不像司馬遷的《史記》那樣經得起推敲。

我們已經說過，兩河流域的人們把楔形文字刻寫在泥版上，在已經發現的幾十萬塊泥版中大約有300快是與數學有關的，其中包括一些數表，比如乘法表，倒數表，平方表和立方表。其中有一個被稱為“普林頓322”的泥版，記錄了15組勾股數。我們知道，即便是在今天，能夠計算出15組勾股數也不是一件容易的事情，而這項工作卻是在公元前1900-前1600年的古巴比倫時代完成的，實在是令人感歎。

現代科學技術已經相當發達了，但勾股定理在今天仍然有着廣泛的應用。這個應用是基于下面的幾何直觀，如圖（2）所示：

圖（2)

我們把直角三角形的斜邊看作二維空間的向量c^→，那麼向量c^→向直線L（一維空間）上的投影恰為a^→，也就是說，對于直線L上的任何點d，都有

||c^→-a^→||≤||c^→-d^→||

這就說明在低維空間L中最接近c的點為a，也就是說，如果要用低維空間的點來代替c，那麼最合适的點就是a。我們可以把這種想法推廣到一般，即用勾股定理的方法把高維空間的一個向量c^→投影到低維空間L上去，這就為處理大規模數據，或者處理多維參數模型提供了強有力的數學工具。

我們看到，在日常生活和生産實踐中，古埃及人，古巴比倫人以及古代中國人創造出了如此實用，如此豐富多彩的經驗幾何學，但是他們沒有在一般的意義上對創造出來的知識進行歸納與抽象，因此也沒有總結出幾何學的一般概念和原理。事實上，對應圖形進行高度抽象從而建立了幾何學的是思維嚴謹，善于雄辯的古希臘人。

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