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先把一句話放在這，鍊式法則就是因變量對中間變量求導，乘以....中間變量對自變量求導。是兩個導數的乘積，也是約分。

為了理解并且記住，下面開始。來啊

前面複習了導數定義和幾個求導法則。如果你還不知道導數，請看本雞導數和求導法的圖文或者任何一本微積分。今天複習一個更加重要的求導法，所謂鍊式法則，這個法則在積分理論裡對應着換元法，重要性在微積分裡面是數得着的。

回憶一下所謂導數，就是個極限，寫出來就是

你要永遠記住

可以理解成切線的斜率，速度，變化量（增量）的比率的極限。

已經複習的求導法有常數、倍數、和、差、積、商。

鍊式法則。我們直接考慮一個故事。下面不難，但不要讀得太快。讀完了你就會了。

假設有一隻菜雞，他要補充鹽分，但是由于沒有鹽粉或者鹽粒，隻能喝池子裡的鹹水。

下面是幾個記号。

菜雞喝水的規律是w（t）。意思是到t時刻，一共喝了w升水（體積）。

又假設再假設喝進去的水的鹽度也有個規律s（w），意思是喝的水有鹹有淡，比方說有人在往池子裡撒鹽，導緻鹽度不均勻。總之意思是水不同，鹽度就不同

于是随着時間補充鹽的規律就是s(w(t))，這是一個複合函數。複合函數也是函數，自變量可以說成是時間。于是就可以談對時間的導數，别忘了這是增量比率的極限

你一定能理解，多喝一些水（水有個增量），就一定會多喝一些鹽（鹽的增量）

下面這個等式意思就是，多喝的鹽，應該是多喝的水，乘以這些水的鹽度

（這個推理不嚴謹。實際上，上面的等号應該是約等于，并且等号右邊第一項應該是ds/dw。這個說法需要深刻理解極限的概念，稍微難一些，放在最後）

兩邊除以delta t，取極限，就是鍊式法則：

形式上，鍊式法則，就是因變量對中間變量求導*中間變量對自變量求導。有微分的概念之後，還可以真正的約分。微分就是ds，dt，dw這些東西，因此導數是微商，微分的商。

微分相當重要，以後再解釋。

現在返回去解決剛才那個不嚴謹的問題。沒興趣的可以忽略。懂極限和微分中值定理的一定看看。

别忘了導數是極限

如果你讓自變量取了一個特定的增量，就不是上面的極限本身，隻能寫

這就是

本文的主題到此結束。

多說幾句。鍊式法則非常重要，在多元微積分裡面，鍊式法則就是雅可比矩陣的乘積。在微分幾何裡，外微分的計算，需要所謂拉回映射，就是這個玩意。讨論這個必須先懂線性代數。此外，在應用的場合，比如概率論，多元分布的計算，沒有雅可比矩陣是不行的。

關于外微分，是理解整個微積分的鑰匙。在初等水平上講外微分的書，強烈推薦龔昇《簡明微積分》作為第二本微積分的書。

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