在大多數科學領域，一代人總是摧毀上一代人所構建的東西，一代人所确立的東西總是被下一代人所毀滅。隻 有在數學領域,每代人都是在老建築之上構建新樓層。

分析學，無窮過程的研究，曾經被牛頓和萊布尼茨理解為涉及到連續量，比如長度、面積、速度和加速度，而數論則明顯以離散的自然數集作為它的領地。群論起初隻涉及到離散的元素集，但克萊因想到了把數學的離散方面和連續方面在群的概念下統一起來。19世紀确實是數學中互相關聯的一個時期。對分析學和代數學的幾何學解釋是這一趨勢的一個方面；把解析的技術引入到數論領域是另一個方面。到19世紀末，最強大的趨勢是算術化；它影響了代數學、幾何學和分析學。

哥廷根大學有兩個年輕人深受狄利克雷的影響，盡管他們在個性和數學方向上大相徑庭。一個是理查德·戴德金；另一個是波恩哈德·黎曼。

黎曼在哥廷根

黎曼接替狄利克雷的位置時，他已經發表了5篇專題論文，其中兩篇是論述物理學問題。我們将援引黎曼最短的、大概也是最著名的一篇論文的實例，然後指出他對數學物理學的貢獻。

黎曼還得出了一些很有深度的跟數論和古典分析學有關的定理。歐拉曾經注意到素數理論與下面這個級數之間的關系：

式中，S是一個整數，這是狄利克雷級數的一個特例。黎曼陣對S是一個複變量的情況研究了同樣的級數，級數的和被定義為一個函數zeta（S），打那以後，這個函數被稱作黎曼zeta函數。黎曼是個多面手，有着富有創造力的頭腦，他不僅對幾何學和數論、而且還對分析學做出了貢獻。在分析學領域，他因為在積分定義的精煉上所扮演的角色，因為對柯西—黎曼方程的強調，以及因為黎曼曲面，而被人們所銘記。這些曲面是一個匠心獨運的方案，為的是讓一個函數具有一緻性，亦即，表示一個複變函數的一一映射，而這樣的函數在平常的高斯平面上是多值的。

這裡，我們看到了黎曼的工作最為引人注目的方面：分析學中一種有着強烈直覺的幾何學背景，與魏爾斯特拉斯學派的算術化趨勢形成鮮明對照。他的方法被稱作“發現的方法”，而魏爾斯特拉斯的方法，正如我們将要看到的那樣，是一種“證明的方法”。他的成果極為重要，以至于伯特蘭·羅素把他描述為“邏輯上是愛因斯坦的直接前輩。”正是黎曼在物理學和數學上的直覺天才，使得像黎曼空間曲率或流形這樣一些概念得以産生，如果沒有這些概念，廣義相對論是不可能被構想出來的。

數學物理學

19世紀最早對數學物理學做出貢獻的，是愛爾蘭人威廉·盧雲·哈密頓，他大量利用了他在1820年代晚期建立數學光學理論時發展出來的概念，其方法的關鍵是把變分原理引入到了某些偏微分方程的處理中。他的研究建立在拉格朗日和泊松的工作的基礎上，但利用了更早确立的一些物理學原理。雅可比在19世紀30年代打造出了他自己的動力學，重塑了哈密頓的創新觀念，并在他自己的理論背景下關注它們。結果是如今所謂的哈密頓—雅可比理論。哈密頓的主要支持者是蘇格蘭物理學家彼得·格思裡·泰特（1831~1901）。他的數學貢獻包括早年對結的研究，在這一領域，他遵循了一條由高斯和利斯廷開創的不大為人所知的研究路線，得到了電力學研究的促進。

喬治·加布裡埃爾·斯托克斯的名字每一個研讀高等微積分的學生都耳熟能詳。1850年，斯托克斯證明了斯托克斯定理。麥克斯韋最有名的是他在電磁波動方程求導上所取得的驚人成功，他在促使數學家和物理學家使用向量上發揮了很大影響。

魏爾斯特拉斯

在19世紀下半葉，柏林最重要的分析學家是卡爾·魏爾斯特拉斯。1854年，魏爾斯特拉斯發表在《克列爾雜志》上的一篇論述阿貝爾函數的論文使他赢得了廣泛的認可，在19世紀最後30餘年裡，他被很多人認為是世界上首屈一指的分析學家。

在19世紀中葉之前，人們普遍認為，如果一個無窮級數在某個區間内收斂于一個連續而可微的函數f（x），則通過逐項求原級數的微分所得到的第二個級數在同一區間必定收斂于函數f'（x）。有好幾個數學家證明，情況未必是這樣，而且，隻有這個級數對于這個區間是一緻收斂的。魏爾斯特拉斯證明了，對于一個一緻收斂的級數，逐項求積分也是允許的。1870年，海涅證明，一個連續函數，如果你把一緻收斂這個條件強加給它，則它的傅立葉級數展開就是唯一的。在這方面，他消除了狄利克雷和黎曼論述傅立葉級數的作品中的困難。

魏爾斯特拉斯對分析學的重要貢獻之一被稱作“解析延拓”。魏爾斯特拉斯把解析函數定義為一個幂級數連同所有那些可以通過解析開拓從它這裡獲得的級數。像魏爾斯特拉斯所做的這種工作，其重要性在數學分析中尤其能夠感覺到，在這一領域，微分方程的解很少是以不同于無窮級數的其他形式求出的。

分析學的算術化

1872年是有特殊意義的年份，不僅在幾何學領域，而且特别是在分析學領域。在這一年，至少有5個數學家對分析學的算術化做出了決定性的貢獻，其中一個是法國人，其餘的是德國人。這個法國人是勃艮第大學的夏爾·梅雷；4個德國人分别是：柏林大學的卡爾·魏爾斯特拉斯，哈勒大學的H.E.海涅和格奧爾格·康托爾，以及不倫瑞克大學的J.W.R.戴德金。這些人在某種意義上代表了半個世紀函數和數的性質研究的高峰，這項研究是1822年随着傅立葉的熱理論以及馬丁·歐姆的努力開始的，同一年，歐姆在《論完全一緻的數學體系》中試圖把整個分析學簡化為算術。

這50年的焦慮不安，有兩個主要原因。一個原因是對無窮級數上執行的運算缺乏信任。人們甚至都不清楚，函數的無窮級數———例如，幂級數，正弦或餘弦級數———究竟是不是始終收斂于它所源自的那個函數。第二個原因是“實數”這個術語缺乏任何定義所引發的憂慮，這個定義是算術化計劃的核心。到1817年，波爾查諾已經充分意識到了分析學中嚴謹性的必要，以至于克萊因把他稱作“算術化之父”；但波爾查諾的影響比不上柯西，後者的分析學依然受到幾何直覺的妨礙。就連波爾查諾在1830年前後提出的連續不可微函數也被後來者所忽視，魏爾斯特拉斯所給出的這種函數的實例，被普遍認為是它的最早例證。

與此同時，黎曼展示了一個函數f（x），它在一個區間内無窮多個點上不連續，然而它的積分卻存在，并定義了一個連續函數F（x），對于上述無窮多個點，它并沒有導數。黎曼的函數在某種意義上比波爾查諾和魏爾斯特拉斯的函數更正常一些，但有一點已經很清楚：積分需要一個比柯西的定義更為小心謹慎的定義，柯西的定義在很大程度上受到了一條曲線之下的區域這樣一種幾何感的引導。今天從上和與下和的角度對一個區間上的定積分給出的定義，通常被稱作黎曼積分，以紀念這個給出有界函數可積的充分必要條件的人。例如，狄利克雷函數在任何區間上都沒有黎曼積分。更一般的積分定義，加諸函數的條件更弱，是在下個世紀提出的，但大多數大學微積分課程中所使用的積分定義依然是黎曼的定義。

在波爾查諾的工作與魏爾斯特拉斯的工作之間，存在一段大約50年的間隔，但在這半個世紀裡人們的努力是如此一緻，對重新發現波爾查諾的作品的需要是如此迫切，以至于有一個著名的定理被冠以這兩個人的名字，這就是波爾查諾—魏爾斯特拉斯定理：一個包含無窮多個元（比如點和數）的有界集S至少包含一個極限點。盡管這個定理是波爾查諾證明的，而且柯西明顯也知道，但正是魏爾斯特拉斯的工作，使得它被數學家們所熟悉。

拉格朗日曾對傅立葉級數表示懷疑，但1823年，柯西認為他已經證明了一般傅立葉級數的收斂性。狄利克雷讓我們看到，柯西的證明是不充分的，并提出了收斂性的充分條件。黎曼正是在試圖放寬狄利克雷提出的傅立葉級數收斂性條件的過程中，發展出了他對黎曼積分的定義；關于這一點，他證明了一個函數f（x）在一個區間内可積，而無需可被傅立葉級數展開。正是無窮三角級數的研究，導緻了康托爾的集合理論。

在決定性的1872年剛剛過去一年之後，一個有望對數學和數學史做出重要貢獻的年輕人去世了，當時隻有34歲。他就是赫爾曼·漢克爾，黎曼的學生和萊比錫大學的數學教授。1867年，漢克爾出版了《複數系理論》一書，他在書中指出：“建立一種泛算術的條件因此是一種純智性數學，一種脫離了一切感覺的數學”。我們已經看到，當高斯、羅巴切夫斯基和波約使自己擺脫了空間成見的時候，幾何學的革命便發生了。在有點類似的意義上，正如漢克爾所預見的那樣，隻有當數學家們懂得，實數應該被視為“智性結構”，而不是從歐幾裡得的幾何學那裡繼承來的從直覺上給出的量，分析學的徹底算術化才成為可能。

魏爾斯特拉斯試圖把微積分跟幾何學分離開來，把它僅僅建立在數的概念的基礎之上。要做這件工作，就必須給出獨立于極限概念的無理數的定義，因為迄今為止前者依然以後者為先決條件。為了糾正柯西的邏輯錯誤，魏爾斯特拉斯通過使數列本身成為數或極限，從而解決了一個收斂數列的極限是否存在的問題。

康托爾與戴德金

戴德金早在1858年就開始關注無理數問題，當時他正在講授微積分。他得出結論，極限概念，如果想讓它嚴謹的話，就應該僅僅通過算術來發展，無需來自幾何的引導。戴德金沒有簡單地尋找一條走出柯西的惡性循環的途徑，而是問自己，在連續的幾何量中，究竟有什麼東西把它跟有理數區别開來。

伽利略和萊布尼茨認為，直線上點的“連續”是它們的密度的結果———在任何兩點之間總是有第三點。然而，有理數也有這個屬性，但它們并沒有構成一個連續統。在思考這個問題的時候，戴德金得出結論：一條線段的連續性，其本質并非由于一種含糊不清的緊密相連，而是要歸因于一種截然相反的屬性：線段上的一點把線段分為兩部分的那種特性。把線段上的點分為兩類，使得每一點屬于且隻屬于其中一類，且一類中的每一點都在另一類中的每一點的左邊，在任何這樣的分割中，都有且隻有一點導緻這種分割。

戴德金認識到，可以把有理數域擴大，構成一個實數的連續統，隻要你假設一個前提，這就是如今所說的康托爾—戴德金公理，即：一條直線上的點可以跟實數建立起一一對應的關系。戴德金指出，現在，關于極限的基本定理都可以得到證明，而無需求助于幾何學。正是幾何學，指明了通向連續性的恰當定義之路，但到最後，它被排除在這個概念正式的算術定義之外。有理數系中的戴德金分割，或實數的等價物，如今取代了幾何量，成為分析學的支柱。

實數的定義，正如漢克爾曾經提及的那樣，是建立在有理數基礎上的智性結構，而不是從外部強加給數學的某種東西。在上述定義中，一個最流行的定義是戴德金的定義。20世紀初，伯特蘭·羅素對戴德金分割提出了修改。

康托爾出生于聖彼得堡，在蘇黎世、哥廷根和柏林上學期間，專注于哲學、物理學和數學———這個過程似乎培養了他前所未有的數學想象力。1867年，他以一篇關于數論的論文獲得了博士學位，但他的早期作品卻顯示出了對魏爾斯特拉斯的分析學的興趣。這一領域促使他在二十八九歲的時候頭腦裡迸發出的那些革命性的觀念。我們已經提到過康托爾跟“實數”這個平淡無奇的術語有關的工作；但他最具原創性的貢獻是以“無窮”這個刺激性的詞語為中心。

自芝諾的時代以來，人們一直在談論無窮，既在神學領域，也在數學領域，但1872年之前，沒有一個人能夠準确地說出他所談論的是什麼。在關于無窮的讨論中，人們太過頻繁地援引的實例，都是諸如無窮次幂或無窮大量之類的東西。偶爾，像伽利略和波爾查諾的作品那樣，人們的注意力也集中在一個集合的無窮多元上，例如，自然數或一條線段上的點。在人們一直試圖識别出數學中實際的或“完全的”無窮，在這樣的努力中，柯西和魏爾斯特拉斯隻看到了悖論，并相信無窮大和無窮小所指稱的隻不過是亞裡士多德的可能性———即上述過程的不完全性。康托爾和戴德金得出了相反的結論。在波爾查諾的悖論中，戴德金看到的不是反常，而是無窮集的一個普遍屬性，他把這一屬性視為一個準确的定義：

一個系統S，當它與自身的嚴格意義上的一部分相似時，我們說它是無窮的；在相反的情況下，我們說S是一個有限的系統。

用更現代的術語說，一個元素集S，如果它的一個真子集S'中的元素可以跟S中的元素建立起一一對應的關系，則我們說S是無窮集。

戴德金的無窮集定義1872年發表在他的《連續性與無理數》中。1874年，康托爾在《克列爾雜志》上發表了他最具革命性的論文之一。他像戴德金一樣，也認識到了無窮集的基本屬性，但是，不同的是，他認識到，并非所有無窮集都是一樣的。在有限的情況下，如果不同的元素集可以建立起一一對應的關系，我們就說它們有一樣的數量（基數）。以有點類似的方式，康托爾着手依據集合的“勢”來構建無窮集的等級體系。完全平方數集或三角形數集跟所有正整數的集合有同樣的勢，因為這些集合可以建立起一一對應的關系。這些集合似乎比所有有理分數的集合小得多，然而，康托爾證明，有理分數的集合也是可數的，也就是說，它也能跟正整數建立起一一對應的關系，因此有同樣的勢。要證明這一點，我們隻要循着下圖中的箭頭，順着箭頭的方向“數一數”分數。

有理分數非常密集，在任何兩個有理分數（不管它們挨得多近）之間，總是還有一個有理分數；然而，康托爾的排列顯示，分數集的勢跟整數集是一樣的。你一定很想知道，是不是所有數集都有同樣的勢，但康托爾令人信服地證明了，情況并非如此。例如，跟有理分數的集合比起來，所有實數的集合有更高的勢。為了證明這一點，康托爾使用了歸謬法。假設0與1之間的實數是可數的，表示為無盡小數（例如，1/3是0.333…，1/2是0.499…，以此類推），并以可數順序排列如下：

為了證明并非所有0與1之間的實數都被包括在上面的排列中，康托爾顯示了一個無盡小數，與上面列出的那些數都不同。要做到這一點，隻需構建一個小數：

這個實數在0與1之間，然而，它并不等于上面那個被假定為包含0與1之間的所有實數的排列中的任何一個數。

實數可以用兩種不同的方式細分為兩種類型：（1）按照有理數和無理數，（2）按照代數數和超越數。康托爾證明了，即使是代數數這一類（它們遠比有理數更加一般），它們依然跟整數有一樣的勢。因此，正是超越數，給予實數系以導緻更高勢的“密度”。本質上正是密度問題，決定了一個集合的勢。

一個更令人吃驚的事實是：維數并不是一個集合的勢的決定因素。單位線段上點的集合，它的勢跟單位面積或單位體積中的點———或者，就這個問題而言，甚至是三維空間裡所有的點———的集合的勢是一樣的。（然而，維數依然是某種權威的衡量，因為在不同維度的空間裡，點的任何一一映射都必然是不連續映射。）點集理論中的某些結果太吊詭，竟使康托爾本人在1877年寫信告訴戴德金：

我認識到了它，但我不相信它

他請求戴德金檢驗他的證明。出版者對接受他的論文也很猶豫，好幾次，由于編輯遲疑不決，擔心這種非傳統的處理數學概念的方法中潛伏的錯誤，從而推遲了康托爾的文章在《克列爾雜志》上發表。

康托爾的驚人成果，導緻了集合理論作為一門成熟的數學學科的建立，被稱為集合論或流形論，這一分支在20世紀中葉将對數學教學産生深遠影響。在創立這門學科的時候，康托爾花了很大的功夫讓他的同時代人相信這些結果的有效性，因為存在相當可觀的“無窮恐怖症”，數學家們很不願意接受實際上的無窮或完全無窮。在層層疊疊地堆積證據的過程中，康托爾最後構建了整個超限算術的大廈。一個集合的“勢”成了該集合的“基數”。

因此，整數集的“基數”是“最小的”超限數E，而實數集或一條直線上點的集合的“基數”是一個“更大的”超限數C，即連續統的基數。還有一個問題依然沒有得到回答，這就是：E與C之間是不是存在超限數。康托爾表示，有無窮多個超限數超過C，因為他證明了：一個集合的子集的集合，它的勢總是高于該集合本身的勢。因此，C的子集的集合的基數是第三個超限數，這個子集集合的子集集合決定了第四個超限數，依次類推，直至無窮。正如有無窮多個實數一樣，也有無窮多個超限數。

上面描述的超限數都是基數，但康托爾還發展出了超限序數的算術。次序關系在數學中是一個很棘手的問題，因此到頭來人們發現，超限序數算術驚人地不同于有限序數算術。對于有限實例來說，序數的法則本質上跟基數的法則是一樣的。因此，3 4=4 3，而不管這些數字是代表基數，還是代表序數。然而，如果你用ω來代表“計數”，則ω 1跟1 ω并不一樣，因為1 ω明顯跟ω相同。此外，你還可以證明：ω ω=ω且ω·ω=ω，這些屬性不同于有限序數的屬性，倒是類似于超限序數的屬性。

戴德金和康托爾都屬于他們那個時代最有能力的數學家，肯定是最具原創性的數學家。他驚人的産出，涵蓋了數論、方程理論、橢圓函數及其他領域。他對20世紀初葉代數學的影響相當大，對數論的影響也是如此。衆所周知的是他那句

上帝創造了整數，其餘的一切都是人的工作。

他無條件地拒絕他那個時代的實數構建，理由是：它們沒法僅通過有限的過程來實現。據說他曾經問林德曼：證明π不是代數數有什麼用，因為無理數是不存在的。

克羅内克不僅擋住了康托爾在柏林大學獲得教席的道路，而且，他還試圖破壞康托爾正在創立的那個數學分支。反過來，1883年，康托爾在他的《一般流形論基礎》中寫下了一段有力的辯護，他堅持認為：“明确的記數既可以用有限集來進行，也可以用無窮集來進行。”他并不害怕落入他所描述的“超越數的深淵”。克羅内克繼續他對高度敏感、性情暴躁的康托爾的攻擊，1884年，康托爾第一次患上了神經失常，在他此後30年的餘生中，這種病還反複發作。抑郁症的發作有時候導緻他懷疑自己的工作，盡管像埃爾米特這樣一些人的支持在一定程度上給他帶來了安慰。到最後，他的成就赢得了人們的認可。希爾伯特驚呼：“沒有人能把我們逐出康托爾為我們創造的天堂。”

法國的分析學

19世紀中葉法國最著名的分析學工作大概是施圖姆和劉維爾的工作，處理的是有邊界條件的二次常微分方程理論。事實上，上面談到的這些論文就發表在19世紀30年代《劉維爾雜志》的最早幾期上。然而，它們的巨大意義隻是逐步顯現出來，尤其是通過後來的英國分析學家對它們的利用。要解決的問題是把手頭的表達式展開為特征函數的可展開性問題，這可以被視為傅立葉級數的一般化。

施圖姆不僅研究了傅立葉的熱理論，還研究了他的論述方程的數值解的作品；這部作品的影響當你讀到施圖姆最早的重要理論成果時馬上就一清二楚了。這個成果就是他的“分離定理”：任何兩個（實）解的振蕩都是交替的，或者說是互相分離的。施圖姆—劉維爾理論不僅證明了可展開性，而且還提供了解法和特征函數求值的準則。該定理最開始并不十分嚴謹。到19世紀末，應用和證明的精細化才得以提供。

劉維爾還以其他各種各樣的貢獻而著稱。在複分析領域，他的工作在劉維爾定理中被人們所銘記：如果一個複變量為z的完全解析函數f（z）在複平面上有界，那麼，f（z）必定是一個常數。從這個定理出發，可以推導出作為一個簡單推論的代數基本定理：如果f（z）是一個次數大于零的多項式，且f（z）在複平面上任何地方都不為零，則其倒數F（z）=1/f（z）就滿足劉維爾定理的條件。所以，F（z）必定是一個常數，而它明顯不是一個常數。因此，至少有一個複數值z=z0滿足方程f（z）=0。在平面解析幾何中，有另外一個“劉維爾定理”：從一點P到一條圓錐曲線C的切線的長度與C在相應切點上的曲率半徑的立方根成正比。最後，我們不妨來看看劉維爾對實數理論最有名的貢獻。

數論主要是處理整數，或者從更一般的意義上說，是處理整數的比———所謂的有理數。這樣的數始終是一個系數為整數的線性方程ax b=0的根。實分析處理的是一種更一般的數，要麼是有理數，要麼是無理數。從本質上講，歐幾裡得就已經知道，ax^2 bx c=0的根（式中a、b和c都是一個給定長度的整數倍）可以在幾何上用直尺和圓規作出。如果方程：

的系數a、b、c…q和n都是整數，且n>2，則這個方程的根用歐幾裡得的工具通常是作不出的。由于每個有理數都是這樣一個方程對于n=1的一個根，問題自然來了：每個無理數是不是這樣一個方程對于n≥2的一個根？對這個問題的否定回答是劉維爾在1844年證實的，那一年，他構建了一個範圍廣泛的代數實數類。他發展出來的這個特殊的類被稱作劉維爾數，範圍更廣泛的非代數實數被稱作超越數。劉維爾對超越數的構建十分複雜，但我們還是可以給出超越數的某些簡單實例，比如0.1001000100001…或下面這種形式的數：

要證明某個特定的實數———比如e和π———不是代數數，通常十分困難。例如，劉維爾能夠證明e和e^2都不可能是一個系數為整數的二次方程的根；因此，給定一個單位線段，長度為e和e^2的線段都不能用歐幾裡得的工具作出。但差不多又過了30年，對劉維爾的觀點追根究底的法國數學家夏爾·埃爾米特才得以能夠在1873年科學院《通報》上的一篇論文中證明：e不可能是任何系數為整數的多項式方程的根———也就是說，e是超越數。

π這個數的身份問題跟e比起來，讓數學家們倍感困擾的時間還要長9年。朗伯在1770年、勒讓德在1794年都曾證明，π和π^2都是無理數，但這個證明并沒有終結古老的化圓為方問題。問題最終是1882年在慕尼黑大學的林德曼發表于《數學年刊》上的一篇文章中才得以塵埃落定。這篇題為《關于π這個數》的文章，在擴展劉維爾和埃爾米特的工作的過程中，最終證明了，π也是一個超越數。這就是對化圓為方這個古典問題的最後回答。要使化圓為方用歐幾裡得的工具可以作出，π這個數就必須是一個代數方程的根，而且這個方程必須有一個可以用平方根表示的根。既然π不是代數數，圓就不可能依照古典法則化為方。在這次成功的鼓勵下，費迪南·林德曼後來發表了好幾個費馬大定理的所謂證明，但它們全都被其他人證明是無效的。

埃爾米特是19世紀法國最有影響的分析學家之一。他最早引起關注是在1842年，當時還是一個高中生，憑借的是提交給《新數學年刊》的兩篇論文。其中有一篇論文是對五次方程可解性的非常簡潔的闡述。1858年，他和克羅内克都用橢圓模函數解出了五次方程。1864年，他在研究無界區間上函數展開式的問題時貢獻了一種新的特殊函數類。具有諷刺意味的是，這位偉大分析學家的名字如今更頻繁地出現在代數學中，而不是出現在分析學中：給定一個矩陣（n×n列）H；設矩陣的每個元都被複共轭所取代，并把所得到的矩陣稱作H*，則該矩陣被稱作埃爾米特矩陣。1858年，埃爾米特證明，這樣一個矩陣的特征值是實數。先前他曾為一個矩陣M創建了“正交”矩陣這個術語，其條件是：M等于M*的逆。

19世紀法國分析學家們的穩定貢獻證明了法國分析學土壤繼續肥沃豐饒；但最顯著的标志是龐加萊和他年輕的同時代人呈現給新世紀的壯觀展示。

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