全稱量詞與存在量詞教案?1.5　全稱量詞與存在量詞，下面我們就來說一說關于全稱量詞與存在量詞教案?我們一起去了解并探讨一下這個問題吧!

全稱量詞與存在量詞教案

1.5　全稱量詞與存在量詞

1.5.1　全稱量詞與存在量詞

1．全稱量詞與全稱量詞命題

(1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符号“∀”表示．

(2)含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題，通常将含有變量x的語句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，變量x的取值範圍用M表示，那麼全稱量詞命題“對M中任意一個x，p(x)成立”可用符号簡記為∀x∈M，p(x)．

2．存在量詞與存在量詞命題

(1)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符号“∃”表示．

(2)含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題，存在量詞命題“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号簡記為“∃x∈M，p(x)”．

思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有實數解”是存在量詞命題還是全稱量詞命題？請改寫成相應命題的形式．

提示：是存在量詞命題，可改寫為“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．

3．含有一個量詞的命題的否定﹁

一般地，對于含有一個量詞的命題的否定，有下面的結論：

全稱量詞命題p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；

存在量詞命題p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．

全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．

1．下列命題中全稱量詞命題的個數是(　　 )

①任意一個自然數都是正整數；

②有的菱形是正方形；

③三角形的内角和是180°.

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

[答案]　C

2．下列全稱量詞命題為真命題的是(　　 )

A．所有的質數是奇數

B．∀x∈R，x2＋1≥1

C．對每一個無理數x，x2也是無理數

D．所有的能被5整除的整數，其末位數字都是5

[答案]　B

3．下列命題中的假命題是(　　 )

A．∀x∈R，|x|≥0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0

C．∃x∈R，x＋2019<1 D．∃x∈R,2x＞2

B　[當x＝1時，(x－1)2＝0，所以B項為假命題．]

4．已知命題p：∀x∈R，sin x≤1，則其否定是(　　 )

A．￢p：∃x∈R，sin ≥1

B．￢p：∀x∈R，sin x≥1

C．￢p：∃x∈R，sin x＞1

D．￢p：∀x∈R，sin x＞1

[答案]　C

全稱量詞命題和存在量詞命題的判斷

【例1】　指出下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷它們的真假．

(1)∀x∈N,2x＋1是奇數；

(2)存在一個x∈R，使＝0；

(3)對任意實數a，|a|＞0；

(4)有一個角α，使sin α＝.

[解]　(1)是全稱量詞命題．因為∀x∈N，2x＋1都是奇數，所以該命題是真命題．

(2)是存在量詞命題．因為不存在x∈R，使＝0成立，所以該命題是假命題．

(3)是全稱量詞命題．因為|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，該命題是假命題．

(4)是存在量詞命題．因為當α＝30°時，sin α＝，所以該命題是真命題．

全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法：

(1)要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x證明p(x)成立；但要判定全稱量詞命題是假命題，隻要能舉出集合M中的一個x，使得p(x)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個反例”).

(2)要判定一個存在量詞命題是真命題，隻要在限定集合M中，能找到一個x使p(x)成立即可；否則，這個存在量詞命題就是假命題.

1. 判斷下列命題的真假．

(1)任意兩個面積相等的三角形一定相似；

(2)∃x，y為正實數，使x2＋y2＝0；

(3)在平面直角坐标系中，任意有序實數對(x，y)都對應一點P；

(4)∀x∈N，x2>0.

[解]　(1)因為面積相等的三角形不一定相似．故它是假命題．

(2)因為當x2＋y2＝0時，x＝y＝0，

所以不存在x，y為正實數，使x2＋y2＝0，故它是假命題．

(3)由有序實數對與平面直角坐标系中的點的對應關系知，它是真命題．

(4)因為0∈N,02＝0，所以命題“∀x∈N，x2>0”是假命題．

含有一個量詞的命題的否定

【例2】　(1)設命題p：∃n∈N，n2>2n，則命題p的否定為(　　 )

A．∀n∈N，n2>2n　　 B．∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n

(2)命題“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　 )

A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2

C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2

D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2

(1)C　(2)D　[(1)因為“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，￢p(x)”，所以命題“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故選C.

(2)由于存在量詞命題的否定形式是全稱量詞命題，全稱量詞命題的否定形式是存在量詞命題，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式為“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．]

含有一個量詞的命題的否定的方法

(1)一般地，寫含有一個量詞的命題的否定，首先要明确這個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并找到量詞及相應結論，然後把命題中的全稱量詞改成存在量詞，存在量詞改成全稱量詞，同時否定結論．

(2)對于省略量詞的命題，應先挖掘命題中隐含的量詞，改寫成含量詞的完整形式，再依據規則來寫出命題的否定．

2．寫出下列命題的否定并判斷其真假：

(1)p：∀x∈R，2≥0；

(2)q：所有的正方形都是矩形；

(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋3≤0；

(4)s：至少有一個實數x，使x3＋1＝0.

[解]　 (1) ￢p：∃x∈R，2＜0，假命題．

因為∀x∈R，2≥0恒成立，所以￢p是假命題．

(2) ￢q：至少存在一個正方形不是矩形，假命題．

(3) ￢r：∀x∈R，x2＋2x＋3＞0，真命題．

因為∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以￢r是真命題．

(4) ￢s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命題．

因為x＝－1時，x3＋1＝0，所以￢s是假命題．

全稱量詞命題與存在量詞命題的應用

【例3】　對于任意實數x，函數y＝x2＋4x－1的函數值恒大于實數m，求m的取值範圍．

[解]　令y＝x2＋4x－1，x∈R，

則y＝(x＋2)2－5，

因為∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，

所以隻要m<－5即可．

所以所求m的取值範圍是{m|m<－5}．

求解含有量詞的命題中參數範圍的策略

(1) 對于全稱量詞命題“∀x∈M，a＞y(或a＜y)”為真的問題，實質就是不等式恒成立問題，通常轉化為求函數y的最大值(或最小值)，即a＞ymax(或a＜ymin).

(2)對于存在量詞命題“∃x∈M，a＞y(或a＜y)”為真的問題，實質就是不等式能成立問題，通常轉化為求函數y的最小值(或最大值)，即a＞ymin(或a＜ymax).

3．若命題“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命題，則實數m的取值範圍是(　　 )

A．m≥1　　　 B．m＞1

C．m＜1 D．m≤1

B　[命題p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命題，則Δ＜0，即m＞1.故選B.]

1．判定一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題的主要方法是看命題中含有哪種量詞，判定時要特别注意省略量詞的全稱量詞命題．

2．要判定一個全稱量詞命題為真命題，必須對限定集合M中的每一個元素x驗證p(x)成立，要判定其為假命題，隻要舉出一個反例即可；對存在量詞命題真假的判定方法正好與之相反．

3．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定，其模式是固定的，即把相應的全稱量詞改為存在量詞，存在量詞改為全稱量詞，并把命題的結論加以否定．

1．思考辨析

(1)命題“正方形都是長方形”是全稱量詞命題．(　　)

(2)命題“有些菱形是正方形”是全稱量詞命題．(　　)

(3)命題：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀x∉R，x2－3x＋3≤0.(　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

2．下列存在量詞命題中，是假命題的是(　　 )

A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0

B．至少有一個x∈Z，使x能同時被2和3整除

C．有的三角形沒有外接圓

D．某些四邊形不存在外接圓

C　[A中，x＝－1滿足題意，是真命題；B中，x＝6滿足題意，是真命題；C中，所有的三角形都有外接圓，是假命題．隻有對角互補的四邊形才有外接圓，故選C.]

3．命題“存在一個無理數，它的平方是有理數”的否定是(　　 )

A．任意一個有理數，它的平方是有理數

B．任意一個無理數，它的平方不是有理數

C．存在一個有理數，它的平方是有理數

D．存在一個無理數，它的平方不是有理數

B　[量詞“存在”改為“任意”，結論“它的平方是有理數”否定後為“它的平方不是有理數”，故選B.]

4．判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷其真假．

(1)對某些實數x，有2x＋1>0；

(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶數；

(3)∃x∈Q，x2＝3.

[解]　(1)命題中含有存在量詞“某些”，因此是存在量詞命題，真命題．

(2)命題中含有全稱量詞的符号“∀”，因此是全稱量詞命題．

把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22，都是偶數，因此，該命題是真命題．

(3)命題中含有存在量詞的符号“∃”，因此是存在量詞命題．

由于使x2＝3成立的實數隻有±，且它們都不是有理數，因此，沒有一個有理數的平方等于3，所以該命題是假命題．

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