為了讨論導數的存在從，人們曾反複用到連續函數的概念，但都限于對連續函數的直觀描述，而無法給出一個确切的定義。現在，我們借助極限的語言來定義連續函數，首先用極限的語言來直觀地描述函數的連續性，如果說一個函數f(x)在點x0處是連續的，那麼，對于任意收斂到x0的數列{xn}，令yn=f(xn)和y0=f(x0)，則當數列{xn}收斂到x0時，函數值的數列{yn}也收斂到函數值y0。我們把這個描述給出一般的符号表達，就可以得到下面的定義：
稱一個函數f(x)在點x0處是連續的，如果對于任意ε>0，都存在δ>0，使得所有滿足
|x-x0|<δ的x均有|f(x)-f(x0)|<ε，表示為lim(x→x0)。稱一個函數在區間[a,b]上是連續的，如果這個函數在這個區間上的每一個點都是連續的。
可以看到，利用符号表達，我們能夠嚴格地判斷函數地連續性了。如果要考察二次函數f(x)=x2的連續性，根據上面的規則，先固定一個點比如x0=2，這時f(x0)=4。因為對于任意給定的ε>0，令δ為小于ε/5的正數，那麼對于(1,3)附近的所有x，隻要|x-2|<δ,則必有|f(x)-4|<ε，根據定義函數f(x)=x2在x0=2處連續。因為這個方法可以适用于任何點，因此函數f(x)=x2在整個數軸上是連續的。
我們是通過數的變化來讨論函數的連續性的，這涉及了數本身的連續性，否則很難表述甚至很難想象一個變量是如何趨近一個給定的常數，很難表述也很難理解符号x→x0的意義。所以，現在出現了一個更加本質的問題：數軸上到底有哪些數？這些數是否是連續不斷的？如何來表示這些數？
這個問題我們将在以後的《實數理論的建立》來讨論。
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