看到這個題目，您或許會有兩個想法：

1.按按計算器就知道了，比如：√2=2^0.5=1.4142135623730950488016887242097……；

2.是不是要介紹“手算開平方”？實在抱歉，曾經的我也不是個十分專心的學生，竟是忘了。當然，百度一下，再度鑽研貼文也是可以的，不過興趣待定。

其實，本文想說的還就是和想法1有關。您有沒有想過：計算器又是怎樣計算的呢？

我不确定計算器背後的算法一定是什麼，但我确定的知道一種比較可行的方法：利用叠代函數叠代計算n次方根。今天就先來看看“二次方根”或“平方根”的計算方法。

二次方根叠代函數如下：

f(x)=x/2 C/(2*x)

其中：

x^2=C

或

C^0.5=x

即：函數中的C是被開方數，x是求解目标“二次方根”。

（備注：呃，請不要問我這個叠代函數是怎麼來的，據說和“泰勒級數”有關，這得從“數學分析”中尋找答案，汗……）

什麼是“叠代”？

①猜測一個初始值x0，比如：x0=1（不會猜，就選1）；

②計算函數值x1，其中：x1=f(x0)，即把x0代入叠代函數求值；

③叠代：x0=x1；

④反複循環②③兩步直至符合指定的精度要求。

可見：叠代就是把上一次輸出的結果作為下一次輸入的結果并反複執行。

這樣做神奇嗎？來讓我們試試。

例1.求根号2的值。

①x0=1

②x1= x/2 C/(2*x)=1/2 2/(2*1)=1.5

③x0=x1=1.5

④x1= x/2 C/(2*x)=1.5/2 2/(2*1.5)≈1.416666667

⑤x0=x1=1.416666667

⑥x1= x/2 C/(2*x)=1.416666667/2 2/(2*1.416666667)≈1.414215686

⑦x0=x1=1.414215686

⑧x1= x/2 C/(2*x)=1.414215686/2 2/(2*1.414215686)≈1.414213562

⑨……

隻需叠代4次就可以得到9位小數精度，足夠應付很多計算需要了。

例2.求1234567的平方根。

呵呵，手算基本是不可能的，小數位數多，會讓人抓狂的，下面是電子表格計算的數據，供參考：

第1次 1

第2次 617284

第3次 308643

第4次 154323.5

第5次 77165.74993

第6次 38590.87441

第7次 19311.43279

第8次 9687.68106

第9次 4907.558926

第10次 2579.561651

第11次 1529.078654

第12次 1168.235696

第13次 1112.507369

第14次 1111.111582

第15次 1111.110706

……

叠代了15次後，達到了一般穩定精度要求。不過，如果初始值不是1，而是與準确值更接近一些，比如1000，則叠代次數會大幅下降，如下：

第1次 1000

第2次 1117.2835

第3次 1111.127757

第4次 1111.110706

……

僅需4次。初值的選擇是很重要的，好的初值估計，算是核心技術。

本文算是幫您打開了一扇門，但同時，您會發現更多關上的門，比如：三次方根呢？四次、五次、小數次、無理數次……方根呢？比如：被開方數是小數、負數、無理數……呢？呵呵，這會讓我們頭很大的。

女兒的作品

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