我們來玩個遊戲...

任意挑選一個正整數。如果它是一個奇數，那麼就乘以3再加1。如果它是一個偶數，那麼就除以2。對得到的新數字做同樣的事，一直這樣做。如果你在某一時刻得出了數字1，那麼就停止。

我知道這可能不是世界上最有趣的遊戲，但請你多玩一會兒。我向你保證，這将是很有趣。

例如，如果我們從7開始，我們會得到下面的數列（從現在開始，我們稱它為科拉茨序列）。

• 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

如果我們從19開始，我們得到：

• 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

請注意，在某一時刻，我們在上述兩個序列中都得到了數字22，因此它們的“尾巴”是一樣的。

問題是：我們總是在1處結束嗎？

信不信由你，上述問題是一個深奧的謎題。盡管很多非常聰明的數學家做出了巨大的努力，但這個問題仍然沒有得到解決。

這個問題被稱為 "科拉茨猜想"。

但為什麼它這麼難解呢？畢竟，一個孩子都會明白這個遊戲的規則。它看起來非常簡單。

通過對小數字的科拉茨數列的初步觀察，我們沒有看到什麼出乎意料的情況，但當我們到了，例如，數字27，相應的序列是111步長，它在快速下降到1之前達到9232。

如果我們繪制27的科拉茨數列，我們會得到以下圖表。

這看起來有點随機，事實上，這個問題有一定的随機性，這使得它很難處理。我們稍後會再讨論這個問題。

請注意，如果n是一個奇數，那麼3n 1就是一個偶數，我們需要将其除以2，因此我們可以将這兩步合并為一步，簡單地說就是(3n 1)/2。

當我們把上述兩個步驟結合起來時，我們會把得到的數列稱為簡化的科拉茨數列。

考慮一下下面的函數。

這個函數将輸出簡化後的科拉茨數列中的下一個數字，當然前提是z是一個整數。

但是這個函數，如果我們在複平面上定義它，是一個完整的函數，這意味着我們可以給它輸入任何複數，而且它是複數可微的。

馬克-張伯倫研究了這個函數在實線上的叠代，結果發現，這導緻了一個動态系統。他表明，這個猜想對于所有的正實數來說并不成立，因為存在着無限多的固定點以及軌道。

下面可以看到相應的美麗的科拉茨分形。

這表明，這些數列确實有一些内在的混沌性。

衆所周知，動力系統和分形源于混沌系統，例如天氣，其決定性特征是系統對初始條件極為敏感。

對于我們的問題來說，這意味着考慮整數和實數之間存在巨大差異，即使我們可以通過實數數列任意接近一個給定的整數，相應的科拉茨數列可能非常不同。這就造成了混亂。

那麼，解是什麼樣子的呢？我們需要證明兩件事。首先，我們需要證明所有數列都是有界的。換句話說，不存在無限的科拉茨數列。我所說的無限是指序列中的數字集是無限大的。第二，我們需要證明不可能出現循環。也就是說，在科拉茨數列中，我們永遠不會遇到一個數字兩次。如果我們從1開始，那麼4，2，1的序列就會無限期地重複。

當然，還有另一種解決辦法。這個猜想可能是錯的，數學家試圖驗證它，取的起始值約為2^68。1958年，波利亞猜想（Pòlya conjecture）被一個大約1.845×10^361的反例所推翻，這比2^68這數字大得多。

實際上，這裡還可能發生另一件事。數學家們往往不大談論這個問題，因為這是很悲傷的想法。科拉茨猜想在我們的公理系統中可能是無法解決的，也就是說，無論我們如何努力，我們都無法破解它。

那麼，為什麼說這是一個危險的問題呢？

因為，當你試圖解決一個數學問題，而你又不知道自己是否能夠解決它時，你就把寶貴的時間都花了，最終什麼也得不到。

時間是最寶貴的，而把它用在數學上是非常容易的，尤其是當一個問題看起來如此簡單的時候。但事實上它一點也不簡單。這就像希臘神話中的塞壬。

希臘神話中的塞壬一開始就是一群看起來像美女的生物，但實際上是吃人的野獸。他們坐在岸邊，用誘人的聲音唱歌，任何聽到他們歌聲的人都會被他們迷住。然後塞壬就會吃掉他們。

這個問題很像這樣。它看起來如此美麗和簡單，但在你意識到之前，你已經花費了多年的研究和精力，最終什麼都沒有。

實際上，許多教授警告他們的博士生不要去研究這個猜想。

我隻是部分同意上述觀點。就我個人而言，我花了很多很多時間思考黎曼假設、孿生素數猜想和科拉茨猜想，但我從不覺得自己浪費了時間，因為思考這些美麗的問題給我帶來快樂。

我喜歡這個過程和挑戰。即使你可能沒有更接近解決實際問題，但你可能在這個過程中發展出一些公理或一些其他工具。如果不出意外，你會體會到做原始研究的感覺，并加入到許多曾經走過這條路的人中。

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