絕對值是初中數學中最重要的概念之一，我們都學過一個實數的絕對值的定義：

這個隻是它的代數定義，剛開始學習的時候，很多同學可能不明白這樣定義出來的數有什麼意義，到後來我們又學習了它的幾何含義，|a-b|表示的就是在數軸上點a和點b之間的距離：

而|a|可以看成是|a-0|，因此它表示的就是數軸上點a和原點的距離。

通過幾何含義來理解絕對值這個概念就直觀多了，因此絕對值就自然地和距離聯系在一起。

可以很輕松地證明，絕對值滿足下面三個性質：

相信很多人對初中有關絕對值的題目記憶猶新，尤其是各種各樣的絕對值不等式，讓人頭疼不已。

其實，絕對值這個概念是很晚才被提出的。它是由被譽為“現代分析學之父”的德國大數學家魏爾斯特拉斯(Weierstrass)于1841年提出的，距今不到200年的曆史。當然，你可能覺得這個時間已經夠久遠了吧，但是我可以告訴你，我們所崇拜的歐拉，生于1707年，逝于1783年。就是說，那個把無窮級數玩得賊溜，寫出了數學史上最多論文的大神，一輩子都沒有接觸過絕對值。而另外一位大神，“數學王子”高斯，年代稍微晚一些，生于1777年，逝于1855年，比照這些年份可以看出來，絕對值算是一個出現得非常晚的數學概念了。

魏爾斯特拉斯(Weierstrass，1815-1897)，在微積分的嚴密化進程中做出了基礎性的貢獻

到了高中之後，我們又學習到了一個全新的數學對象——向量。向量最通俗的幾何解釋就是帶有箭頭的線段，它既有長度，也有方向。向量的長度我們一般稱之為模長，用符号|v|來表示。

流體力學中的向量場

進而我們把向量放到直角坐标系裡邊來研究，把每一個向量的起點都平移到坐标原點，于是就可以用它的終點坐标來表示一個向量。

進而根據勾股定理，我們可以得到一個向量模長的公式：

同樣道理，我們可以研究三維向量

以及三維向量的模長

學到這裡，估計很多小夥伴們心裡就會犯嘀咕了，為什麼表示向量模長的符号和初中講的絕對值的符号是一樣的呢？

我相信，聰明的小夥伴們自己心裡已經有答案了。

是的，我們前面已經講過，從幾何圖形上看，絕對值表示的就是距離，而且是到原點的距離。那麼一個向量的模長，不就等于它的終點到原點的距離嗎，隻不過現在這個點不是在數軸上了，而是在二維平面中或者三維空間中。所以向量的模長其實就是絕對值的意思，因此我們拿同樣的符号來表示。于是，絕對值就相當于距離這個觀念再一次得到了印證。

不僅如此，向量模長所滿足的性質跟數的絕對值所滿足的性質幾乎是一模一樣的：

第(3)個式子我們稱之為向量不等式或三角不等式，其本質就是三角形的兩邊之和大于第三邊，這些都是很容易理解的。

相比于絕對值，向量的模長這一概念出現的時間就更晚了，它是由數學家甘斯在1905年提出的。

在高中我們還重點研究了另外一個概念——複數。複數的引入可以說是數學史上一個開天辟地的事件，它打破了人們認為的運算必須要有意義這一傳統觀念，對代數學的發展産生了深遠影響。

所謂複數，就是形如a bi這種形式的數，其中a和b都是實數，i為虛數單位，通俗地講就是-1開平方。實數和虛數都是複數的特例。

數學王子高斯，在複數的發展史上作出了巨大貢獻

同樣為了研究的方便，我們将複數表示在平面直角坐标系中。

當然這個平面直角坐标系我們更專業的講法叫做複平面，橫軸叫做實軸，縱軸叫做虛軸。于是複平面上的點就表示一個複數，(a,b)這個點表示的就是a bi。

複數的坐标表示跟向量非常的相似，我們同樣可以定義複數的模長，即該點到坐标原點的距離。

同樣的符号又一次出現了！我們又一次用絕對值的符号來表示距離。所以寫到這裡，小夥伴們應該已經明白絕對值究竟是個什麼東西了。實數的絕對值，向量的模長，複數的模長，三者從本質上講都是一樣的。

不出意外地，複數的模長也滿足下面三個性質，其中z和w都表示複數。

其中第(1)條和第(3)條比較簡單，第(2)條的證明比較複雜，需要使用複數的極坐标表示，即把一個複數寫成模與輻角的形式來計算。

其實，魏爾斯特拉斯當初在發明絕對值的時候，已經意識到了這一點。他自己就曾說過：複數的模實際上就相當于它的絕對值。由此可見，魏爾斯特拉斯發明絕對值這個概念，就是從距離的角度來考慮的。

寫到這裡，故事似乎就應該結束了，我們非常成功地用一個概念“絕對值”，把數的距離，向量的模長，複數的模長這三個彼此不同的對象統一于同一個框架之下。

但是！人類的數學已經發展了2000多年，所研究的内容包羅萬象，隻有上面的三個東西才有“絕對值”嗎？當然不是。

進入20世紀以來，數學逐漸從研究具體的概念對象，轉為研究抽象的形式對象，從而逐漸走上了抽象化與公理化的道路。

德國數學家希爾伯特（Hilbert），20實際數學發展的指明燈

相信這句話讀起來令人費解，我來通俗的解釋一下。數學裡面有很多不同的概念或研究對象，而其中某幾個研究對象它們具有相同的特征。數學家們就把這些相同的特征一條條都提取出來，把他們重新定義為一個新的、獨立的研究對象，然後就專門來研究這個新的對象，這一條條的特征就稱為這個對象所滿足的公理。

本文所講的絕對值，就是一個非常典型的例子。通過上文的回顧我們發現，數的絕對值，向量的模長，複數的模長，本來是三個不同的研究對象，但是他們之間具有相同的特征，即下述三條

這一點我們上面已經反複強調過了。

那麼我們就假設有一個東西，它滿足上面三條性質，那麼我們就可以把這個東西定義為一個新的研究對象。而數學家們還真的就這麼幹了，他們管這個新的研究對象叫“範數”(norm)，因為這個東西的思想起源于絕對值，但同時又比絕對值高級，所以數學家們又發明了一個新的符号來表示範數：||a||

我們來看一下範數的具體定義：首先有一個線性空間，簡單的理解，線性空間就是一個集合，并且裡面的元素可以做加減法運算和數乘運算。比如所有的實數組成的集合，所有的向量組成的集合，都是線性空間。

對于線性空間中的每一個元素x，我們都讓它對應一個數，記為||x||，于是集合中的每一個元素都對應一個數。如果每個元素對應的數滿足如下三條性質：

我們就把這個數稱為x的範數，這個集合就稱為賦範線性空間。字面意思就是就是賦予了範數的線性空間。

因此對于一個線性空間，隻要我們能找到上面每個元素對應的數，讓它滿足這三條性質，那麼它就可以稱之為一個範數。可以看出，上文講到的數絕對值，向量模長，複數模長，都是滿足這三條性質的，所以它們都是某種特殊的範數。

同樣，并不是隻有上面三個才能成為範數。可以很多其它的東西也滿足上面三個條件。因此對于其它的數學對象，我們也可以有範數。甚至于，對于同一種數學對象，我們可以有好幾套不同的範數，下面我們就來舉幾個例子。

就拿我們熟悉的二維向量舉例子，我們已經知道，向量的模長構成一種範數。我們來尋找另外一套範數，比如我可以讓每一個向量對應這樣一個數：

這裡後面兩個都是正常的絕對值。比如

||〈2,-3〉|| = 5

我們來檢驗一下這樣規定的東西是不是滿足上面三條性質：第一

第二

第三

雖然計算過程複雜，但是可以看出來我們新規定的這個東西非常好地滿足這三條，于是它就可以稱之為向量的一個範數。

這個例子說明，同樣的東西可以有不同的範數。但是它仍然隻是向量的範數，與之類似的，我們還可以定義矩陣的範數。

很多數學對象都可以定義範數，再舉一個例子，我可以對一個函數來定義範數。假設集合是由所有在閉區間[a,b]上連續的函數組成的。我們來規定每一個函數對應到它絕對值的定積分上：

這裡要牢記：一個函數的定積分就是一個數，第一

第二

第三

好了，經過這樣一番證明，我們發現，這樣定義出來的數确實也是一個範數。

可以想見，類似的例子還有很多很多，比如我們還可以定義一個數列的範數。當然有的小夥伴們會問，這樣做有什麼用？其實我們定義了範數之後，就可以專門來研究範數這個東西本身，而不必再考慮它的原始素材——絕對值。而很多數學研究對象它們之間的關系都可以歸結為範數的關系，比如内積，收斂等等性質。因此我們把範數研究清楚了，就可以應用到非常廣泛的數學對象上。

從這個例子也可以初步窺探一下20世紀數學的面貌，小夥伴們也可以來領略一下公理化方法的魅力。

事實上，這一方法是經曆了漫長的過程才逐漸形成的。1910年，匈牙利數學家裡斯(Riesz)在研究積分方程導出的内積空間時，引入了範數這一概念。但是他當時研究的範數還沒上升到公理化階段，還隻是一類特殊的範數。到1922年，波蘭著名數學家巴拿赫(Banach)才提出了公理化的方法，用上面我們講過的三條公理來定義範數，并随之提出了賦範線性空間的概念。而完備的賦範線性空間，我們則稱之為巴拿赫空間。以此為基礎，他在1932年出版了數學史上的重要作品《線性算子理論》，也由于這一貢獻，被人們看作是泛函分析的主要創始人。

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