什麼時候正弦值是正的?讀初中的時候，有一個問題一直困擾着我，那就是為什麼“正弦”叫做“正弦”呢？我們都知道“正弦”指的是：在RT△ABC中，對邊與斜邊的比值，即sinA=a/c. 但這與“弦”有什麼關系呢？，下面我們就來說一說關于什麼時候正弦值是正的?我們一起去了解并探讨一下這個問題吧!

什麼時候正弦值是正的

讀初中的時候，有一個問題一直困擾着我，那就是為什麼“正弦”叫做“正弦”呢？我們都知道“正弦”指的是：在RT△ABC中，對邊與斜邊的比值，即sinA=a/c. 但這與“弦”有什麼關系呢？

到了高中，角度從360°推廣到了任意角，三角函數的範圍也因此拓展了，想了解這個問題變得更加困難。直到大學的某一天，我在圖書館翻閱數學史書籍時，偶然間找到了答案。這一切讓我們從古希臘的兩位著名數學家開始。

喜帕恰斯Hipparchus是公元前2世紀古希臘著名數學家，托勒密Ptolemy則生活在公元2世紀左右的埃及，盡管生存年份跨度近3個世紀，但我們不能分開來描述他們，因為我們所知道的關于Hipparchus的成就與生平，主要來自于Ptolemy的著作，反過來，Ptolemy的很多工作都是在Hipparchus工作上的繼承與創新。

Ptolemy

一個簡單的例子是，地理學上繪制地圖所常用的“經度與緯度”，首先由Hipparchus提出并倡導用于确定地球某點的位置，而Ptolemy通過《地理學指南》一書，充分地解釋了怎樣從數學上确定它們.

Ptolemy的地圖

Ptolemy的工作的确有繼承，但更多的是創新。Ptolemy最主要的著作是《天文學大成》（Almagest），此書在天文學上地位是亘古未有的，在中世紀，如果你要學習“天文學”，Almagest必然會是的枕邊書，這部天文學上百科全書式的著作要直到17世紀“日心說”的興起才開始受到“冷落”。

哥白尼

Almagest繼承了古希臘、尤其是Hipparchus的成就，對當時遇到的問題：如描述天體運行的“地心說”、太陽及月球相關問題、恒星的位置以及三角學計算等作了詳細描述。其中一項工作——“弦表”——直接來源于Hipparchus。

Almagest中的“弦表”

上圖是經由Ptolemy改進後的Hipparchus的弦表，要理解為什麼“正弦”之所以為“弦”，我們簡單介紹一下這張表中數據的意思。

“弦表”左邊三列為希臘文，右邊三列為譯文，Ptolemy在計算中取周角為360°，直徑為120。由第八行知，當Arcs=4°時，chords在60進制下等于4;11.16，轉換為10進制，即4 11/60 16/3600≈4.187778. 換句話說，4°弧所對應的弦長值約為4.187778，我們用符号ch( 4°)≈4.187778表示。

沒錯，ch(4°)就是sin(2°)的“前身”，“弦表”中的“正弦值”指的就是4°弧對應的弦長|BC|.其實不止在Ptolemy時代，往後的印度、阿拉伯時期，甚至是到了18世紀，“正弦”都是指的“幾何線段”長。其中，比較有影響力的是阿耶波多（Āryabhaṭa）使用的“半弦”、Wafa使用“半弦長”與半徑的比值、以及歐拉使用的單位圓中的“正弦線”。

而我們現在初中教材中的“正弦函數”的建立在直角三角形上的定義，要直到16世紀的奧地利數學家雷提庫斯Rhaeticus給出。高中教材中的“終邊定義法”則更是在19世紀開始成型，最終在20世紀普及的。

現在不用我揭曉答案，大家也應該知道了，“正弦”之所以叫做“正弦”，并非一時的定義，而是曆史發展的結果。在相當長的一段時間裡，正弦指的是“圓”中弧所對的“弦長”、“半弦長”。 但是随着“正弦函數”定義的一步步“進化”，它的原有的“弦長”定義也逐步的退出曆史舞台。這也是讓我們的疑惑遲遲不能解開的原因。

最後表達一下我對學習數學的一些看法。作為一名高中數學教師，我能深刻的體會到很多學生對于數學的功利性态度。基于考試的原因，他們不得不學，但是數學中太多的公式、定理、概念、應用，讓學生應接不暇，毅力和領悟力好的、數學自然學好了，但是更多的學生，對數學是有恐懼感的，學好數學也就變得很困難了。

而且即使是數學成績好的學生，因為興趣而學習數學的也很少見。數學就真的這麼難學?回答這個問題不容易，但是可以肯定的是，盡管抽象性是數學的特點，公式、定理、概念是理解數學的基礎，但是數學不僅僅隻是它們。數學也應該有它簡單、樸素、有趣的一面。

教材上的“數學”是高度提煉後的數學，學生初學就接受的是“完美化”後的概念、定理等，跳躍感比較嚴重，所以學起來困難。但是如果結合數學的曆史發展，從數學的發生出發，經曆并克服數學家們遇到的同樣問題，順便了解數學家們的趣事，自然而然學習的興趣起來了、學習的難關也在這一系列的過程中消化了。

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