方程、函數這兩個術語在中小學數學組十分常見，也是大多數孩子們最為頭疼的兩個詞，不止一次的問自己：這兩個到底是什麼東東，它認識我，我不認識它。

王永春（課程教材研究所）

方程和函數是初等數學代數領域的主要内容，也是解決實際問題的重要工具，他們都可以用來描述現實世界的數量關系，而且他們之間有着密切的聯系，因此，本文将二者放在一起進行讨論。

（1） 方程思想。

含有未知數的等式叫方程，判斷一個式子是不是方程，隻需要同時滿足兩個條件;一個是含有未知數，另一個必須是等式。如有些小學老師經常有疑問的判斷題;x=0和x=1是不是方程？根據方程的定義，他們滿足方程的條件，都是方程。方程按照未知數的個數和未知數的最高次數，可以分為一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，這些都是初等數學代數領域中最基本的内容。方程思想的核心是将問題中未知量用數字以外的數學符号（常用x、y等字母）表示，根據數量關系之間的相等關系構建方程模型。方程思想體現了已之與未知數的對立統一。

(2) 函數思想。

設集合ab是兩個非空數集，如果按照某種确定的對立關系f，如果對于集合a中的任意一個數x,在集合b中都有唯一确定的數y和它的對應，那麼就稱y是x的函數，記作y=f(x)。其中x叫做自變量，x的取值範圍a叫做函數的定義域；y叫做函數或因變量，與x相對應的y的值叫做函數值，y的取值範圍b叫做值域。以上函數的定義是從初等數學的角度出發的，自變量隻有一個與之對應的函數值也是唯一的。這樣的函數研究的是兩個變量之間的關系，一個變量的取值發生了變化，另一個變量的取值也相應發生了變化，中學裡學習的正比例函數、一次函數、二次函數、幂函數、指數函數、對數函數和三角函數都是這類函數。實際現實中變量的變化而相應變化，這樣的函數是多元函數。雖然在中小學裡不學習多元函數，但隻機上它是存在的，如圓柱的體積與底面半徑r和圓柱的高的關系;v=πr2 h.半徑和高有一對取值；也就是說，體積随半徑和高的變化而變化，通過對這種變化的探究找出對應關系之間的法則，從而構建函數模型。函數思想體現了運動變化的、普遍性的觀點。

從小學數學到中學數學，數與代數領域經曆了從算數到方程。算術研究具體确定的常數以及他們之間的數量關系。方程研究确定的常數與未知的數量之間的關系。函數研究變量之間的數量關系。

方程和函數雖然都是表示數量關系的，但是他們有本質的區别。如二元一次的不定方程中的未知數往往是常量，而一次函數中的自變量和因變量一定是量變，因此二者有本質的不同。方程必須有未知數，未知數是常量，而且一定用等式的形式呈現，二者缺一不可，如2x-4=6。而函數至少要有兩個變量，兩個變量依據一定的法則相對應，呈現的形式可以有解析式、圖像法和列表法等，如集合a為大小等于1、小于等于10的整數，集合b為小于20的正偶數。那麼兩個集合的數之間的對應關系可以用y=2x表示，還可以用如下的表格表示。

人們運用方程思想，一邊關注的是通過設未知數如何找出數量之間的相等關系構建方程并求出方程的解，從而解決數學問題和實際問題。人們運用函數思想，一般更加關注數量之間的對應關系，通過構建函數模型并研究函數的一些性質來解決數學問題和實際問題。方程中的未知數往往是靜态的，而函數的變量則是動态的。方程已經有3000多年的曆史，而函數概念的産生不過才300年。

（2） 方程和函數的關系。

（3）方程和函數雖然有本質的區别，但是他們同屬代數領域，也有密切的關系。如二元一次不定方程ax by c=0和一次函數y=kx b，如果方程的解在實數範圍内，函數的定義域和值域都是實數，那麼方程ax by c=0和經過變換可轉化為y=-a/bx-c/b,它們在直角坐标系裡畫出來的圖像是一條直線。因此可以說一個一元一次方程對應一個一次函數.如果使一次函數y=kx b，中的函數植等于0,那麼一次函數轉化為kx b=0,這就是一元一次方程.因此,可以說求這個一元一次方程的解,實際上就是求使函數值僞的自變量的值,或者說求一次函數圖象與X軸交點的橫坐标的值.

一般地,就初等數學而言,如今令函數值為0,那麼這個函數就轉化為含有一個未知數的方程;求方程的解,就是求使函數值為0的自變量的值,或者說求函數圖像與X軸交點的橫坐标的值.

16世紀以前,人們主要是運用算術和方程方法解決現實生活中的各種實際問題,方程與算術相比,由于未知數參與了等量關系式的夠建,更加便于人理解問題分析數量關系并夠建模型,因而方程在解決以常量為主要的實際問題中發揮了重要作用 ,到了17世紀,随社會的發展,傳統的研究常量的算術和方程已經不能解決以研究兩個變量之間的關系為主的經濟,科技軍事等領域的重要問題,這時函數變産生了.函數為研究運動變化的數量之間的依存,對應關系和構建模型帶來了方便,從而能夠解決比較複雜的問題.

概括的說,方程和函數思想是中小學數學,尤其是中學數學的重要内容之一.方程和函數在研究和構建現實世界的數量關系模型方面,發揮着重要的不可替代的作用.

小學數學在學習方程之前的問題,都通過算術方法解決,在引入方程之後,小學數學中比較複雜的有關數量關系的問題,都可以通過方程解決,方程思想是小學思想的重要思想,其中一元一次方程是小學數學的必學内容,在小學數學裡沒有學習函數的概念,但是有函數思想的滲透,與正比例函數和反比例函數最接近的正比例函數和反比例函數是小學數學的必學内容.另外,在小學數學的一些知識中也會滲透函數思想,如數與數的一一對應體現了函數思想.方程和函數是小學數學與初中數學銜接的紐帶.

小學數學中方程和函數思想的應用如下表.

4方程和函數思想的教學.

方程和函數都是義務教育階段重要的數學思想方法.用方程和函數表示數量關系和變化規律,不僅體現方程和函數的思想的價值.也有助于學生形成模型思想.根據課程标準的理念,方程和函數思想的教學應關注以下幾點.

(1) 方程中的字X,Y等代表具體的未知的常數,即未知數,這是代數思想和方程思想的基礎.

(2) 正比例關系和反比例關系等函數關系中的字母X,Y等代表的是變化的量,即變量,而且這兩個量是相關聯的量,一個量的變化,另一個量也會随着變化,這是函數思想的基礎,要讓學生體會它們的區别.

(3) 結合具體情境,通過分析數量關系來理解等量關系,并用方程表示等量關系,再通過解方程解決問題,從而認識方程的作用.

(4) 結合簡單情境,認識成正比例的量或反比例的量,通過分析數量關系和變化規律建立比例關系式,再通過解比例解決問題.

(5) 能根據給出的有正比例關系的數據在方格紙上畫圖,并根據其中一個量的值估計另一個量的值.

下面再結合案例談談方程和函數思想的教學

案例1:媽媽買了 3千克香蕉和2千克蘋果,一共花了16元.蘋果的價格是香蕉的兩倍多1元,蘋果和香蕉的單價各是多少?

分析：題目涉及的是商品的數量單價和總價的關系,

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