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立體幾何大題4點共面問題怎麼解決

教育 更新时间:2025-02-07 13:59:03

一道高中立體幾何題-求兩點之間的最短距離

一個正四面體的頂點為A, B, C, D, 每個棱的長度都是1, 點P在棱AB上, 點Q在棱CD上, 求P和Q之間的最短距離。

立體幾何大題4點共面問題怎麼解決(一道高中立體幾何題-求兩點之間的最短距離)1

解法1:兩點之間垂線最短, 這樣PQ最短距離的出現, 應該是P是AB的中點, Q是DC的中點。

立體幾何大題4點共面問題怎麼解決(一道高中立體幾何題-求兩點之間的最短距離)2

如上圖,這樣連接PC和PD, 可以知道PD=PC, 因為四個面都是全等的等邊三角形, 其中線也相等。 因此PQ垂直于CD。

對于邊長為1 的等邊三角形,其中線PC=PD=(√3)/2, 而QC=1/2,

所以根據勾股定理, PQ的值:

立體幾何大題4點共面問題怎麼解決(一道高中立體幾何題-求兩點之間的最短距離)3

解法2:如下圖, 有點D做DD’垂直于底面, D’是垂足,連接CD’, 由于是正四面體, 所以D’是三角形ABC的中心, 所以CD’則是底邊中心的2/3, 這是由中心的性質決定的。由此得知三角形DCD’是直角三角形。

立體幾何大題4點共面問題怎麼解決(一道高中立體幾何題-求兩點之間的最短距離)4

可以算出:

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因為:

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而:

立體幾何大題4點共面問題怎麼解決(一道高中立體幾何題-求兩點之間的最短距離)7

根據餘弦定理:

立體幾何大題4點共面問題怎麼解決(一道高中立體幾何題-求兩點之間的最短距離)8

最後得出:

立體幾何大題4點共面問題怎麼解決(一道高中立體幾何題-求兩點之間的最短距離)9

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