非零自然數的數列是單調遞增嗎?證明單調遞增有界的無窮項正數之和不是一個确定數，下面我們就來聊聊關于非零自然數的數列是單調遞增嗎?接下來我們就一起去了解一下吧!

非零自然數的數列是單調遞增嗎

證明單調遞增有界的無窮項正數之和不是一個确定數

設數列an的前n項之和為Sn，Sn是單調遞增有界收斂數列，設其極限值為a，an是正數遞減的具體數列，Sn=a1 a2 ••• an，用數學歸納法證明，任意n項之和Sn與以前各項之和都不相同，累加永無止盡，其值永恒嚴格遞增、改變，這就能證明單調遞增有界的無窮項正數之和不是一個确定的數。

根據正數項越多，累加值越大的原理，我們每次取數列的一項進行累加，每次累加之和都大于以前的累加值，與以前的累加值都不同。（一）當項數取n=2時，很容易證明無窮項正數之和S2與以前累加值都不同；（二）當項數取n=3時，也容易證明無窮項正數之和S3與以前累加值都不同；（三）假設項數任意取n=k時，無窮項正數之和Sk與以前累加值都不同，再取一項正數ak 1進行累加，其項數之和Sk 1都大于以前累加值S2；S3；•••；Sk，當然Sk 1也與以前的累加值都不同，這就證明了當項數為n=k 1時，命題成立。綜合（一）、（二）、（三）可知，命題得證。任意多項正數之和與以前累加值都不相同，累加值嚴格遞增，任何有窮項數的累加值都是确定的數值，無窮項的項數不确定，當然其累加值就不确定，即無窮項正數之和不具有唯一确定值，累加永無止盡，累加值永恒變化，萬世不竭。

特别指出：數列各項都是按自然數順序排列，無窮都是以有窮、具體、确定為基本條件，具有具體的通項公式，Sn通項公式遞增有界，增量逐項遞減，an遞減數列，增量永恒大于零，無窮項正數之和是單調遞增有界的。

單調遞增有界的無窮項正數之和不是一個确定的數，它是一個數列，該數列為：S1（a1）；S2；S3；•••；Sn；•••，其中Sn=a1 a2 ••• an，0<a1>a2>•••>an>•••，

數列an項取之不盡、用之不竭，Sn以分散點的方式，無限逼近其極限值，因此任意項Sn不可能等于極限值，隻能小于極限值，

S1<S2<S3•••<Sn<•••<a，它驗證了單調遞增有界的無窮項正數之和不是一個确定數，任意項、所有項Sn<a，它的每一項都小于極限值，它永恒小于其極限值，它不等于其極限值。如果規定“單調遞增有界的無窮項正數之和等于一個确定數”，那是自相矛盾的規定，是胡作非為，是謬論。也充分驗證了中國古人的話是正确邏輯、科學道理：對1米的木棒，日取其半，萬世不竭。即取出的木棒之和：1/2 1/4 ••• 2^(-n) •••<1，它不等于1，它的極限值是1.同樣的例子還有：0.99•••=0.9 0.09 •••

0.9 0.09 •••<1，其極限值是1.

構造數列：0.9；0.99；•••；1-10^（-n）；•••，這個數列無限逼近1，它的每一項值都不等于1，這個數列驗證了不等式，

0.9 0.09 •••<1

另一個例子，

1/3=0.33•••3（第n個3） 1/3*10^（-n）

永恒存在

1/3>0.33•••

兩邊取極限，則

1/3=0.33•••（其極限值），

其中1/3*10^（-n）極限值等于零。

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