說到數學學習，就不得不提動點類問題，此類題型因具有綜合性強、靈活度高、解法靈活等特點，題目的難度一般比較大，深受命題老師的青睐，成為考試熱點題型。

動點類問題是指圖形中存在一個或多個動點，它們是在某條線段、射線或弧線上運動的，從而引起另一圖形的變化，從運動變化的角度來研究、探索發現圖形性質及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理，是一類開放性題目。

通過對此類的題型設置，能對考生的觀察能力和創新能力進行很好的考查，預計這類題仍然是中考數學的熱點，解決這類問題的關鍵是動中求靜，在變化中找到不變的性質是解決數學“動點”探究題的基本思路，這也是動态幾何數學問題中最核心的數學本質。

通過對近幾年動點有關的試題進行分析和研究，發現具有以下三個明顯特征。

一是有特殊位置點的動點問題：

本類型問題中的動點往往和某些定點構成特殊的位置關系，利用“三角形兩邊之和大于第三邊”“兩點之間線段最短”或“垂線段最短”等知識進行解題。

二是幾何圖形中的動點問題：

由動點引起某一線段長度變化(自變量)，通過題目中提供的其他條件表示出另一線段或某一圖形面積，從而構建兩者之間的函數關系，再根據函數性質解題。

三是函數圖象中的動點問題：

動點在某一函數圖象上，當點運動到某一特殊位置時，某一線段長度或某一圖形的面積達到最值，或與某些點構成一個特殊的圖形；解題利用函數圖象上點坐标的對應關系，用動點的坐标表示出要求圖形的數量特征(如線段的長度或圖形面積)，再利用函數性質或方程進行求解。

動點有關的典型例題分析，講解1：

已知，如圖，在平面直角坐标系内，點A的坐标為（0，24 ），經過原點的直線l1與經過點A的直線l2相交于點B，點B坐标為（18，6）.

(1)求直線l1，l2的表達式；

(2)點C為線段OB上一動點 （點C不與點O，B重合），作CD∥y軸交直線l2于點D，過點C，D分别向y軸作垂線，垂足分别為F，E，得到矩形CDEF.

①設點C的縱坐标為a，求點D的坐标（用含a的代數式表示）；

②若矩形CDEF的面積為60，請直接寫出此時點C的坐标．

考點分析：

一次函數綜合題，待定系數法，直線上點的坐标與方程的關系，矩形的性質，解一元二次方程。

題幹分析：

（1）設直線l1的表達式為y=k1x，它過（18，6）可求出k1的值，從而得出其解析式；設直線l2的表達式為y=k2 b，由于它過點A（0，24），B（18，6），故把此兩點坐标代入即可求出k2，b的值，從而得出其解析式。

（2）①因為點C在直線l1上，且點C的縱坐标為a，故把y=a代入直線l1的表達式即可得出x的值，從而得出C點坐标；由于CD∥y軸，所以點D的橫坐标為3a，再根據點D在直線l2上即可得出點D的縱坐标，從而得出結論。

②先根據C、D兩點的坐标用a表示出CF及CD的值，由矩形的面積為60即可求出a的值，得出C點坐标。

動點有關的典型例題分析，講解2：

已知抛物線y=ax²-2ax c與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，點A的坐标是（－1，0），O是坐标原點，且|OC|=3|OA|．

（1）求抛物線的函數表達式；

（2）直接寫出直線BC的函數表達式；

（3）如圖1，D為y軸的負半軸上的一點，且OD=2，以OD為邊作正方形ODEF.将正方形ODEF以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向移動，在運動過程中，設正方形ODEF與△OBC重疊部分的面積為s，運動的時間為t秒（0＜t≤2）.

求：①s與t之間的函數關系式；

②在運動過程中，s是否存在最大值？如果存在，直接寫出這個最大值；如果不存在，請說明理由．

（4）如圖2，點P（1，k）在直線BC上，點M在x軸上，點N在抛物線上，是否存在以A、M、N、P為頂點的平行四邊形？若存在，請直接寫出M點坐标；若不存在，請說明理由.

考點分析：

二次函數綜合題，待定系數法，曲線上點的坐标與方程的關系，正方形的性質，二次函數的性質，平行四邊形的判定。

題幹分析：

（1）求出點C的坐标，即可根據A，C的坐标用待定系數法求出抛物線的函數表達式。

（2）求出點B的坐标（3，0），即可由待定系數法求出直線BC的函數表達式。

（3）①分0＜t≤1和1＜t≤2讨論即可。

（4）由點P（1，k）在直線BC上，可得k=－2。∴P（1，－2）。

則過點P且平行于x軸的直線N1N2和在x軸上方與x軸的距離為2的直線N3N4，與y=x²－2x－3的交點N1、N2、 N3、N4。

動點有關的典型例題分析，講解3：

如圖，已知抛物線y=ax² bx 3經過點B（－1，0）、C（3，0），交y軸于點A，将線段OB繞點O順時針旋轉90°，點B的對應點為點M，過點A的直線與x軸交于點D（4,0）．直角梯形EFGH的上底EF與線段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG,EF=EH=1。直角梯形EFGH從點D開始，沿射線DA方向勻速運動，運動的速度為1個長度單位/秒，在運動過程中腰FG與直線AD始終重合，設運動時間為t秒。

（1）求此抛物線的解析式；

（2）當t為何值時，以M、O、H、E為頂點的四邊形是特殊的平行四邊形；

（3）作點A關于抛物線對稱軸的對稱點A′，直線HG與對稱軸交于點K，當t為何值時，以A、A′、G、K為頂點的四邊形為平行四邊形。請直接寫出符合條件的t值。

考點分析：

二次函數綜合題，二次函數的性質，待定系數法，曲線上點的坐标與方程的關系，直角梯形的性質，平移的性質，相似三角形的判定和性質，平行四邊形、矩形和菱形的判定。

題幹分析：

（1）用待定系數法，将B（－1,0）、C（3,0）代入y=ax² bx 3即可求得抛物線的解析式。

（2）當直角梯形EFGH運動到E′F′G′H′時，過點F′作F′N⊥x軸于點N，延長E′ H’交x軸于點P。根據相似三角形的判定和性質，可用t表示出OP和H′P。分平行四邊形E′H′ OM是矩形和菱形兩種情況讨論即可。

點在運動變化過程中與圖形相關的某些量(如角度、線段、周長、面積及相關的關系)的變化或其中存在的函數關系。

解題策略：對于圖形運動型試題，要注意用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運動與變化的全過程，抓住其中的等量關系和變量關系，并特别關注一些不變的量，不變的關系或特殊關系，善于化動為靜，由特殊情形(特殊點、特殊值、特殊位置、特殊圖形等)逐步過渡到一般情形，綜合運用各種相關知識及數形結合，分類讨論，轉化等數學思想加以解決。

當一個問題是确定有關圖形的變量之間的關系時，通常建立函數模型或不等式模型求解；當确定圖形之間的特殊位置關系或者一些特殊的值時，通常建立方程模型去求解。

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