歐拉起初的驚人之舉是給出了平方數的倒數和等于π^2/6，與歐拉同時代的數學家都沒能解決這個問題，所以歐拉在1734年給出這一結論時，曾引起轟動。因整個數列中沒有圓的蹤迹，結果卻出現了π，也很讓這個結果吸引眼球。
現在就來探讨這個級數鮮為人知的數學魅力。
首先在不知情的情況下探讨這個無窮級數是否會收斂呢？
變形：将每個數寫成兩個乘積形式然後向後移一項，如下藍色部分
發現：綠色部分是一樣的，藍色部分上面比下面的小
綜合得出：紅色部分的級數要比歐拉級數的和要大
聰明的你會看出：兩個數乘積等于兩個數之差
整理：
得到：
所以最終得到無窮級數的和：
所以歐拉級數是收斂的：
熱身結束了，我們怎麼來證明歐拉級數準确數值呢
首先sinX=0是個三角函數方程，那麼X解肯定有無窮多個，可以寫成：
學過導數的話，對sinX求一次導數，二次導數：
在X=0時得到b的值：
以此類推不斷求導，我們就計算出了sinx方程的所有系數得到：
所有的函數都可以這樣來構造成級數的形式，一次方程，二次曲線方程都可以。
歐拉從另外一種思路構建sinX的多項式：
sinX方程的根是：
-π到π之間含有sinX=0 方程的三個解: 0,π-π,其次用曲線來逼近正弦函數，所以多了一個系數c，最終形式為：
隻要逼近曲線在sin函數所在的0點斜率相同，就能完全吻合：觀察不難得到C值：
整理得到
以此類推得到以根的形式表示sinX的多項式
那麼sinX有兩種表達式的形式，而且是相等的
我們将根的多項式一項一項乘下去發現：
得到：
這就是歐拉級數的原理
比較X^5的系數你就會得到：
繼續觀察就會得到著名的沃利斯級數：
沃利斯級數中：分子是全體偶數平方的乘積，分母是全體奇數平方的乘積，所以非常神奇。
這都是歐拉級數原理中所展現出來的數學魅力。
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