一說起期望值，可能有的人會很陌生；但一說起平均數，可能大部分人都了解。其實求期望和求平均之間還是有那麼一些關系的。

我們先來舉個例子，讓你對期望有直觀的理解。

假設我有1個不均勻的六面體，每個面标了一個數字，分别是1、2、3、4、5、6。如果我将此六面體向上抛出，那麼落地時向上一面的概率如下表所示：

顯然，上述的概率之和為1。那麼此六面體向上一面的期望是什麼呢？

我們是這樣計算期望的：把每個面出現的概率乘以每個面的數字，然後算它們的加和。即：

1*(1/6) 2*(1/3) 3*(1/6) 4*(1/12) 5*(1/12) 6*(1/6) = 37 / 12

因此，上面這個六面體落地時正面朝上的期望就是37/12，換算成整數約等于3.

不均勻的算出來了，那如果是均勻的六面體呢？它落地時向上的一面的期望又是什麼呢？

很簡單，由于是均勻的六面體，那麼每個面朝上的概率都是1/6。因此，總的期望就是1/6（1 2 3 4 5 6）=21/6=3.5。此時，就相當于我們求了1-6的平均數。

換句話說，如果每個數字出現的概率是相等的，那我們就相當于求的平均數；如果每個數字出現的概率是不等的，那我們就在求期望。我們一般用“E”來表示期望。

我們還是來舉例說明什麼是方差。

假設小明期末考試考了6門課，他的成績分别是60,78,77,90,92,83。那麼小明成績的方差該怎麼算呢？

我們需要先算出小明的平均成績：（60 78 77 90 92 83）/ 6 = 80。

然後，分别用小明每一門課的成績減去平均成績，求出差的平方，再算出這些平方的平均值。即

[(60-80)^2 (78-80)^2 (77-80)^2 (90-80)^2 (92-80)^2 (83-80)^2] / 6 = 111。

我們把這個結果就叫做方差。把它一般化， 假設有x1、x2...xn一共n個數據，它們的均值是μ，那麼方差就可以表示為：

方差公式

有時候分母的n也會換成n-1，取決于它是樣本數據還是整體數據，不過對我們的結果影響不大。

那麼方差有什麼意義呢？它所表示的是數據的波動程度，更具體的說，它表示的是數據與均值之間的離散程度。方差越大，表明數據越分散，離均值的平均距離遠；方差越小，表明數據大多集中在均值周圍。

标準差就是方差開方得到的結果，即

标準差公式

那這麼做有什麼意義呢？注意到，我們的方差是求了平方的，如果我們的數據是有單位的話，最後的結果将是單位的平方，對這個結果不是很好解釋。比如上面小明成績的方差是111，單位是“分”的平方。我們就會感到很奇怪。

将方差開方後，單位就變成了原來的單位，那麼結果就很好解釋了。可以得出，小明成績的标準差約為10.5分。也就是說，小明的成績與均值的差距平均在10.5分。

标準差同樣衡量數據的波動狀況，隻不過它的結果很好解釋。

Z值隻是一個臨界值，他是标準化的結果，本身沒有意義，有意義的在于在标準正态分布模型中它代表的概率值。通過查表便可以知道。

Z值對應概率值表

舉個例子來說

一個班級有100個同學

那麼我們就有了100個智商值。

從60 到180 不等

假設平均值（mean）是90

那麼有的人是60，有的人是110.和平均值的差值 平方再開方就是 方差（Variance）

方差可以幫助看出來這個人離平均值有多遠，差距有多少

但是如果數量很大的話

數據就不好計算了

比如，一個方差5 一個方差10 還有方差20 的

太麻煩

這就引入 Z 值

Z值就是一個衡量方差的标準 或者說是 單位（unit）

在這個例子中，比如，我們設定單位是10

那麼方差5的同學，Z score 就是 5/10=0.5

方差10 的同學 Z score 就是1

方差20的同學就是2

然後我們又知道最大的是10

這就很好标記

這就是為什麼要有一個Z值表對應正态分布的原因

隻看Z值是沒有意義的，每個例子中 單位（unit）不一樣

在正态分布這個情況下，其實單位已經給定義好了

所以隻要知道Z值， 就可以知道這位同學的方差啦

也就相當于知道了這位同學的智商距離平均數有多遠

實例：

某次期中考試，小明數學考了112，英語考了108.那麼他的成績好麼？他的數學成績好還是英語成績好？

已知全市數學平均成績是 108， 方差21 ， 英語的平均成績是97，方差18

通過求Z 值和查Z值表，我們可以得知

小明的數學成績 在全市成績的排名是57.53%， 英語成績是72.91%

所以他的數學成績中等，英語成績比較好。

不同分布的z值具有可比性，例如N(0,1)的數據1的z值是1，表示離均值0有一個标準差，另外N(100,10)的數據110的z值也是1，表示離均值100有一個标準差，這樣的話可以将不同的分布的數據，通過z值，直接比較各自距離各自均值的距離遠近。

一般來說，對于正态分布，三個标準差内幾乎涵蓋了所有的數據。

68%的數據落在一個标準差内

95%的數據落在兩個标準差内

99.7%的數據落在三個标準差内

如果數據分布是正态的，那麼曲線的不同面積可以用z值的不同數值來表示。

同時，不同的面積或者不同的z值，也可以表示特定數值出現的概率。

例如：N(100,10)中110以上數據出現的概率大緻是16%。

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