1 牛頓和萊布尼茲兩位牛人創建了微積分，它也是進入大學必修的一門數學課。之前高中學習的數學都是靜态的，要透徹理解微積分這種動态數學工具，的确夠“喝一壺”。如果僅僅停留在應付考試，畢業後，估計連渣渣都剩不下了。有些人可能會問微積分到底有啥用？這篇美文就是要幫他們在這方面開開腦洞。

2 讓我們先從生活經驗中找找對微積分的感覺。比如你在和對手打乒乓球，你之所以能夠準确回球，你所必須具備的經驗是“趨勢判斷”。不可能球到眼前才揮拍。請注意，這裡趨勢就是微分（或導數）的思想。它聯系着前一狀态和後一狀态的發展趨勢。趨勢信息不僅包含變化的方向，還包含變化的速率。回憶一下是不是這麼回事？

3 普遍用于工業控制的PID調節器就是利用了這個原理。PID的“D”就是微分的首字母，它讓反饋調節正比于“變化率”。其實，我們的身體也是這樣控制的。不僅僅體現在打乒乓球上，任何時候，你的反饋調節都有“微分機制”的參與。變化率趨勢還用在經濟形勢的判斷。GDP就是一個例子。除了“趨勢”還有“流量”，“密度”等其它平民詞彙聯系着微分，後面再說。

4 原來從輸油管道到衛星控制，所用PID控制器和我們身體大腦控制有這麼近的聯系啊，是的，再說說PID的“I”，它就是積分控制。對應回我們前面的打球場景。當你無從獲得準确的趨勢信息時，還可以從以往的經驗統計來判斷。比如你對手最愛打的球路。經驗統計包含的信息都是某種加總後的均值，對了，這就是積分的思想。依靠經驗都有滞後效應，因為獲得經驗，需要時間。微分控制就比較快。但缺點是容易被“噪聲”幹擾。太敏感了，聽風就是雨。積分控制是保守的（經驗主義）。但在噪聲環境中不為“噪聲”所動。除了經驗，還有“存量，總量等生活詞彙與積分相關。後面再論。

5 今天先講到這裡，你喜歡嗎？如果學會了從局部趨勢預判未來，又能從經驗知識過濾噪聲（僞信息，僞知識），那你的人生就從微積分中獲益了。下面講增量和存量的微積分意義，以及對人生的指導意義。

6 好，今天我們接着講微積分思想中，存量和增量的意義。踏上人生旅途的畢業生，面對競争日益激烈的職場，常常非常迷茫。有人工作換了又換，總是踩不到點上。俗話說人生是由能力和機遇組成的。又說，前半生由沒有機會的能力組成。後半生由沒有能力的機會組成。年輕時，有實力沒資曆。年長時，有資曆沒實力。對應到微積分，年輕時，有增量（微分）沒存量（積分）。

7 其實，迷茫在于，不知道自己在做的是“矢量微積分”。有增量，未必就能積累存量，不同維度的增量無法簡單疊加（矢量和，有些相互抵消了。有些雖有投影貢獻，但所得有限。不同維度（行業，領域，專項技能等）受外環境生變量的影響也大不相同。有效積累的第一步是選擇适合自己發展的“朝陽維度”，長期堅持。堅持有效積分不是目的，能捕捉到機會窗口才能成功。捕捉就需要微分（趨勢判斷）能力。另一個要注意的是頻繁自檢，是否自己的投入獲得了“有效增量”。零增量的努力（也包括學習）比比皆是。認知先微分，實踐才能獲得更好的積分效果。

8 有效增量最好在同一維度，或相關性比較高的維度取得。在競争中，取得前5%很不容易。但如果你在兩個相關領域各取得前20%，那你就在誇域競争中獲得了前4%的地位。因為跨域競争是兩個數的積。那有效存量是什麼樣呢？看看圖中的“咬尾蛇”，如果你添加增量到存量中，這個存量能幫助你在下一階段更高效地獲得更多增量，那存量就是有效的。比如你的新業務受益沒有之前存量的貢獻，保持平平，你就需要想想了。人類技術幾步就因存量而加快。貌似指數效應。下節回到微積分的基礎（概念或定義），再挖掘一下，看看為何它對科技進步如此重要。

9 讓我們先從卡瓦列利原理說起，也就是：“界面總相等的兩個立體的體積也相等。”直觀上，積分是對某種具有一定（比如分段連續）連續性的可加量進行求和。積分号下的被積函數看看做某種“分析量”（某種密度函數）。而"d"後的積分域變量是某種有“廣延”的幾何量。所以，積分可以在希爾伯特空間寫成内積的統一形式。好處是，對任何封閉空間，都有：

10 這個式子叫廣義斯多克斯公式。它概括了微積分基本定理、高斯定理、斯多克斯定理、以及在流形微積分中的更多意義。通俗地說，就是把對區域求積的問題轉化為邊界上的某種求積。在現代數學中意義深刻。而我們要借鑒的思想是，當你不清楚某個事物内部情況時，可以從它的全體邊界上的表現來求得等效作用。今天開私家車的，多半不懂發動機原理。道理差不多。另一個啟示，是“封閉”具有特殊的拓撲本質。形成封閉就具有某種“完備性”。比如26個字母，通過組合，對英語就具有完備性輯，任何單詞都能用他們表達。如此形成的基本元素，越少效率越高。為何活字印刷對西方影響那麼大，中國的活字印刷早了幾百年，但因為作為基本元素的漢子太多。得到普及需要克服的困難就太多了。

扯遠了，積分思想告訴我們，不僅從總體考慮的視角十分重要，還特别指名，從完整（封閉）邊際來考慮總體問題，與非完整邊際有本質不同。可以完成“降維”。聰明人總是能化繁為簡，而小聰明則常常折在邊際的遺漏。

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