作者 朷刻君
空間想象能力弱?無法還原立體圖?别擔心,包學習APP有方法
高考在考查三視圖方面出題有兩個方向,一是給出三視圖及相關數據,求幾何體的體積、表面積、内切球體積或外接球體積等;二是給出幾何體,确定其中一個視圖的圖形.由于第二點比較簡單,所以高考中考查的較少.高考中對給出三視圖求相關體積、面積等的題型考查較多,一般以小題形式出現,分值為5分,該類型題的本質是考查三視圖還原幾何體,所以能快速準确的将三視圖還原幾何體,是解決這類問題的關鍵.
先來複習一下三視圖相關的基礎知識.
位置:主在上,俯在下,左在右.
大小:長對正,高平齊,寬相等.
虛實:看的見的為實線,看不見的為虛線.
本文介紹兩種快速又好用的三視圖還原方法.
當然,我默認大家已經掌握了基本幾何體的三視圖形狀,這一點很重要,沒有掌握的同學請自己去翻課本.
一
升點升線法
1
升點法
當主視圖和側視圖的頂部都是點時,采用升點法.
如:還原如圖所示三視圖的直觀圖.
【分析】觀察三視圖知主視圖和側視圖的頂部都是點,則該圖形可由俯視圖的一個點升高形成,升的高度為主、側視圖的高2.用斜二測法畫出俯視圖,如下圖所示.
方法總結:主、側視圖頂為點→上升點法
1.俯視畫圖;
2.主、側找最高點;
3.在俯視圖上将找到的點上升(上升高度為主視圖的高),連接各頂點.
2
升線法
當主視圖和側視圖的頂部為一點一線時,采用升線法.
例:
【分析】觀察三視圖知主視圖和側視圖的頂部為一點一線,則該圖形可由俯視圖的一條線升高形成,升的高度為主、側視圖的高.用斜二測法畫出俯視圖,如下圖所示.
方法總結:主、側視圖頂為一點一線→以點為基準升線
1.俯視畫圖;
2.主、側找升高線;
3.升高直線(上升高度為主視圖的高),連接對應點.
二
長方體中找點找面法
我們所學的立體圖形中,有錐、柱、台、球及組合體,柱體和球的三視圖還原太過簡單,此處不再予以介紹.我們通過研究錐體和台體的三視圖還原來介紹這種方法.
1
錐體的三視圖還原
錐體的三視圖的特點是三個視圖中有兩個三角形.也就是說,我們在看到某幾何體的三視圖中有兩個是三角形時,即可确定該幾何體為錐體,并且你要去還原它的直觀圖時,這兩個三角形就是關鍵!
例:某幾何體的三視圖如圖所示.
【分析】三視圖中有三個三角形,可以确定該幾何體是一個錐體,俯視圖就是該錐體的底面.大家要知道,如果确定了一個錐體的底面,再确定頂點,那這個錐體就确定了.确定頂點的關鍵是主視圖和側視圖的上頂點.
第一步:根據三視圖的長、寬、高做出一個長方體,本題畫出的正好是一個正方體,如圖1所示.
第二步:把主視圖放到立方體正對着我們的這個面上,如圖2所示.
第三步:将俯視圖畫在立方體中,由确定的底面和頂點,連接頂點與底面的各個頂點,錐體就确定了,如下圖所示.直觀圖還原完成.
步驟總結:
1.三視圖中有兩個視圖為三角形,确定該幾何體為錐體,餘下視圖作為底面.
2.将形狀為三角形的視圖畫在對應的立方體中,根據各自上頂點的投影線找其交點,确定錐體的頂點.
3.連接各頂點,即可還原出錐體.
方法總結:兩個三角形→錐體
1.确定底面;
2.确定頂點(主、側視圖上頂點的投影線交點).
【變式訓練】某幾何體的三視圖如圖所示,還原幾何體的直觀圖.
【提示】将側視圖作為錐體的底面,利用主視圖和俯視圖尋找頂點即可.
2
台體的三視圖還原
台體的特點是三視圖中有兩個梯形,剩下的視圖作為台體的下底面,還原時的關鍵是找上底面.
例:某幾何體的三視圖如圖所示,還原該幾何體的直觀圖.
【分析】首先看到該題的三視圖中有兩個梯形,所以可以确定該幾何體是一個台體.俯視圖就是該台體的一個底面.大家要知道,如果一個台體的下底面确定,再确定台體的上底面即可.上底面是由主視圖和側視圖的上邊決定的,下面來介紹這個上底面确定的具體方法.
第一步:根據三視圖分别取長、寬、高做出一個長方體。
第二步:把主視圖放到立方體正對着我們的這個面上。
步驟總結:
1.三視圖中有兩個視圖為梯形,即可确定該幾何體為台體,餘下視圖為該台體的下底面.
2.将形狀為梯形的視圖畫在對應的長方體中,根據各自上邊的投影面得到其相交面,确定台體的上底面.
3.連接對應頂點,即可還原台體的直觀圖.
方法總結:兩個梯形→台體
第一步:确定下底面
第二步:确定上底面(主、側視圖的上邊投影的相交面)
第三步:連接相應定點
總結
本文簡單介紹了三視圖還原幾何體的幾種簡便方法,當條件滿足時,這些方法非常好用.當然也還有别的方法,這裡不一一介紹.三視圖還原為直觀圖隻是這類題的一個關鍵步驟,之後還要求其面積、體積等,就需要同學們結合各幾何體的特征和已知數據求得,具體方法将在下期MOOK進行介紹.
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