2020高中數學高考複習空間幾何體的表面積與體積

2020高中數學高考複習空間幾何體的表面積與體積

1．空間幾何體的結構特征

2．空間幾何體的直觀圖

(1)在已知圖形中建立直角坐标系xOy.畫直觀圖時，它們分别對應x′軸和y′軸，兩軸交于點O′，使∠x′O′y′＝45°，它們确定的平面表示水平平面；

(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分别畫成平行于x′軸和y′軸的線段；

(3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段，長度為原來的.

3．空間幾何體的三視圖

空間幾何體的三視圖是用正投影得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是完全相同的，三視圖包括主視圖、左視圖、俯視圖．

4．柱、錐、台和球的表面積和體積

1．判斷下面結論是否正确(請在括号中打“√”或“×”)

(1)有兩個面平行，其餘各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱． (　×　)

(2)有一個面是多邊形，其餘各面都是三角形的幾何體是棱錐． (　×　)

(3)用斜二測畫法畫水平放置的∠A時，若∠A的兩邊分别平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中，∠A＝45°. (　×　)

(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同． (　×　)

(5)圓柱的側面展開圖是矩形． (　√　)

(6)台體的體積可轉化為兩個錐體的體積之差來計算． (　√　)

2．(2013·四川)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是 (　　)

答案　D

解析　由三視圖可知上部是一個圓台，下部是一個圓柱，選D.

3．(2013·課标全國Ⅰ)

如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，

容器高8 cm，将一個球放在容器口，再向容器内注水，當球面恰好

接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為

(　　)

A. cm3 B. cm3

C. cm3 D. cm3

答案　A

解析　

作出該球軸截面的圖像如圖所示，依題意BE＝2，AE＝CE＝4，

設DE＝x，故AD＝2＋x，因為AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3，故該球的

半徑AD＝5，

所以V＝πR3＝.

4．一個三角形在其直觀圖中對應一個邊長為1的正三角形，原三角形的面積為________．

答案　

解析　由斜二測畫法，知直觀圖是邊長為1的正三角形，其原圖是一個底為1，高為的三角形，所以原三角形的面積為.

5．若一個圓錐的側面展開圖是面積為2π的半圓面，則該圓錐的體積為________．

答案　π

解析　側面展開圖扇形的半徑為2，圓錐底面半徑為1，

∴h＝＝，∴V＝π×1×＝π.

題型一　空間幾何體的結構特征

例1

　(1)下列說法正确的是 (　　)

A．有兩個平面互相平行，其餘各面都是平行四邊形的多面體是棱柱

B．四棱錐的四個側面都可以是直角三角形

C．有兩個平面互相平行，其餘各面都是梯形的多面體是棱台

D．棱台的各側棱延長後不一定交于一點

(2)給出下列命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；

②有一個面是多邊形，其餘各面都是三角形的幾何體是棱錐；

③直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐；

④棱台的上、下底面可以不相似，但側棱長一定相等．

其中正确命題的個數是 (　　)

A．0 B．1 C．2 D．3

思維啟迪　從多面體、旋轉體的定義入手，可以借助實例或幾何模型理解幾何體的結構特征．

答案　(1)B　(2)A

解析　(1)A錯，如圖1；B正确，如圖2，其中底面ABCD是矩形，可證明∠PAB，∠PCB都是直角，這樣四個側面都是直角三角形；C錯，如圖3；D錯，由棱台的定義知，其側棱必相交于同一點．

(2)①不一定，隻有這兩點的連線平行于軸時才是母線；②不一定，因為“其餘各面都是三角形”并不等價于“其餘各面都是有一個公共頂點的三角形”，如圖1所示；③不一定，當以斜邊所在直線為旋轉軸時，其餘兩邊旋轉形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖2所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；④錯誤，棱台的上、下底面是相似且對應邊平行的多邊形，各側棱延長線交于一點，但是側棱長不一定相等．

思維升華　(1)有兩個面互相平行，其餘各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱．(2)既然棱台是由棱錐定義的，所以在解決棱台問題時，要注意“還台為錐”的解題策略．(3)旋轉體的形成不僅要看由何種圖形旋轉得到，還要看旋轉軸是哪條直線．

如圖是一個無蓋的正方體盒子展開後的平面圖，A，B，C

是展開圖上的三點，則在正方體盒子中，∠ABC的值為 (　　)

A．30° B．45°

C．60° D．90°

答案　C

解析　

還原正方體，如圖所示，連接AB，BC，AC，可得△ABC是正三

角形，則∠ABC＝60°.

題型二　空間幾何體的三視圖和直觀圖

例2

　(1)如圖，某幾何體的主視圖與左視圖都是邊長為1的正方形，且體積為，則該幾何

體的俯視圖可以是 (　　)

(2)

正三角形AOB的邊長為a，建立如圖所示的直角坐标系xOy，則

它的直觀圖的面積是________．

思維啟迪　(1)由主視圖和左視圖可知該幾何體的高是1，由體積是

可求出底面積．由底面積的大小可判斷其俯視圖是哪一個．

(2)按照直觀圖畫法規則确定平面圖形和其直觀圖面積的關系．

答案　(1)C　(2)a2

解析　(1)由該幾何體的主視圖和左視圖可知該幾何體是柱體，且其高為1，由其體積是可知該幾何體的底面積是，由圖知A的面積是1，B的面積是，C的面積是，D的面積是，故選C.

(2)

畫出坐标系x′O′y′，作出△OAB的直觀圖O′A′B′(如

圖)．D′為O′A′的中點．

易知D′B′＝DB，

∴S△O′A′B′＝×S△OAB＝×a2＝a2.

思維升華　(1)三視圖中，主視圖和左視圖一樣高，主視圖和俯視圖一樣長，左視圖和俯視圖一樣寬．即“長對正，寬相等，高平齊”．

(2)解決有關“斜二測畫法”問題時，一般在已知圖形中建立直角坐标系，盡量運用圖形中原有的垂直直線或圖形的對稱軸為坐标軸，圖形的對稱中心為原點，注意兩個圖形中關鍵線段長度的關系．

　(1)(2013·湖南)已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形，則該正方體的主視圖的面積不可能等于 (　　)

A．1 B. C. D.

(2)

如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，

其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，則原圖形是 (　　)

A．正方形

B．矩形

C．菱形

D．一般的平行四邊形

答案　(1)C　(2)C

解析　(1)由俯視圖知正方體的底面水平放置，其主視圖為矩形，以正方體的高為一邊長，另一邊長最小為1，最大為，面積範圍應為[1，]，不可能等于.

(2)如圖，在原圖形OABC中，

應有OD＝2O′D′＝2×2

＝4 cm，

CD＝C′D′＝2 cm.

∴OC＝

＝＝6 cm，

∴OA＝OC，

故四邊形OABC是菱形．

題型三　空間幾何體的表面積與體積

例3

　(1)一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 (　　)

A．48 B．32＋8

C．48＋8 D．80

(2)已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖、左視圖均由直角三角形與半圓構成，俯視圖由圓與内接三角形構成，根據圖中的數據可得幾何體的體積為 (　　)

A.＋ B.＋

C.＋ D.＋

思維啟迪：先由三視圖确定幾何體的構成及度量，然後求表面積或體積．

答案　(1)C　(2)C

解析　(1)

由三視圖知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體的下底面

是邊長為4的正方形；上底面是長為4、寬為2的矩形；兩個梯形側面

垂直于底面，上底長為2，下底長為4，高為4；另兩個側面是矩形，

寬為4，長為＝.

所以S表＝42＋2×4＋×(2＋4)×4×2＋4××2＝48＋8.

(2)由三視圖确定該幾何體是一個半球體與三棱錐構成的組合體，

如圖，其中AP，AB，AC兩兩垂直，且AP＝AB＝AC＝1，

故AP⊥平面ABC，

S△ABC＝AB×AC＝，

所以三棱錐P－ABC的體積V1＝×S△ABC×AP＝××1＝，

又Rt△ABC是半球底面的内接三角形，

所以球的直徑2R＝BC＝，

解得R＝，

所以半球的體積V2＝××()3＝，

故所求幾何體的體積V＝V1＋V2＝＋.

思維升華　解決此類問題需先由三視圖确定幾何體的結構特征，判斷是否為組合體，由哪些簡單幾何體構成，并準确判斷這些幾何體之間的關系，将其切割為一些簡單的幾何體，再求出各個簡單幾何體的體積，最後求出組合體的體積．

　(2012·課标全國)已知三棱錐S－ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為 (　　)

A. B.

C. D.

答案　A

解析　由于三棱錐S－ABC與三棱錐O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中點，因此三棱錐S－ABC的高是三棱錐O－ABC高的2倍，

所以三棱錐S－ABC的體積也是三棱錐O－ABC體積的2倍．

在三棱錐O－ABC中，其棱長都是1，如圖所示，

S△ABC＝×AB2＝，

高OD＝ ＝，

∴VS－ABC＝2VO－ABC＝2×××＝.

轉化思想在立體幾何計算中的應用

典例：(12分)

如圖，在直棱柱ABC—A′B′C′中，底面是邊長為3的等

邊三角形，AA′＝4，M為AA′的中點，P是BC上一點，且由P沿

棱柱側面經過棱CC′到M的最短路線長為，設這條最短路線與

CC′的交點為N，求：

(1)該三棱柱的側面展開圖的對角線長；

(2)PC與NC的長；

(3)三棱錐C—MNP的體積．

思維啟迪　(1)側面展開圖從哪裡剪開展平；

(2)MN＋NP最短在展開圖上呈現怎樣的形式；

(3)三棱錐以誰做底好．

規範解答

解　(1)該三棱柱的側面展開圖為一邊長分别為4和9的矩形，故對角線長為＝. [2分]

(2)将該三棱柱的側面沿棱BB′展開，如下圖，設PC＝x，則MP2＝MA2＋(AC＋x)2.

∵MP＝，MA＝2，AC＝3，

∴x＝2，即PC＝2.

又NC∥AM，故＝，即＝.

∴NC＝. [8分]

(3)S△PCN＝×CP×CN＝×2×＝.

在三棱錐M—PCN中，M到面PCN的距離，

即h＝×3＝.

∴VC—MNP＝VM—PCN＝·h·S△PCN

＝××＝. [12分]

溫馨提醒　(1)解決空間幾何體表面上的最值問題的根本思路是“展開”，即将空間幾何體的“面”展開後鋪在一個平面上，将問題轉化為平面上的最值問題．

(2)如果已知的空間幾何體是多面體，則根據問題的具體情況可以将這個多面體沿多面體中某條棱或者兩個面的交線展開，把不在一個平面上的問題轉化到一個平面上．

如果是圓柱、圓錐則可沿母線展開，把曲面上的問題轉化為平面上的問題．

(3)本題的易錯點是，不知道從哪條側棱剪開展平，不能正确地畫出側面展開圖．缺乏空間圖形向平面圖形的轉化意識．

方法與技巧

1．棱柱、棱錐要掌握各部分的結構特征，計算問題往往轉化到一個三角形中進行解決．

2．旋轉體要抓住“旋轉”特點，弄清底面、側面及展開圖形狀．

3．三視圖畫法：

(1)實虛線的畫法：分界線和可見輪廓線用實線，看不見的輪廓線用虛線；

(2)理解“長對正、寬平齊、高相等”．

4．直觀圖畫法：平行性、長度兩個要素．

5．求幾何體的體積，要注意分割與補形．将不規則的幾何體通過分割或補形将其轉化為規則

的幾何體求解．

6．與球有關的組合體問題，一種是内切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明确切點和接點的位置，确定有關元素間的數量關系，并作出合适的截面圖，如球内切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．

失誤與防範

1．台體可以看成是由錐體截得的，但一定強調截面與底面平行．

2．注意空間幾何體的不同放置對三視圖的影響．

3．幾何體展開、折疊問題，要抓住前後兩個圖形間的聯系，找出其中的量的關系．

A組　專項基礎訓練

(時間：40分鐘)

一、選擇題

1．五棱柱中，不同在任何側面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那麼一個五棱柱對角線的條數共有 (　　)

A．20 B．15

C．12 D．10

答案　D

解析　

如圖，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，從頂點A出發的對角

線有兩條：AC1，AD1，同理從B，C，D，E點出發的對角線均有兩條，

共2×5＝10(條)．

2．(2012·福建)一個幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那麼這個幾

何體不可以是 (　　)

A．球 B．三棱錐

C．正方體 D．圓柱

答案　D

解析　考慮選項中幾何體的三視圖的形狀、大小，分析可得．

球、正方體的三視圖形狀都相同、大小均相等，首先排除選項A和C.

對于如圖所示三棱錐O－ABC，

當OA、OB、OC兩兩垂直且OA＝OB＝OC時，

其三視圖的形狀都相同，大小均相等，故排除選項B.

不論圓柱如何設置，其三視圖的形狀都不會完全相同，

故答案選D.

3．(2013·重慶)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 (　　)

A. B. C．200 D．240

答案　C

解析　由三視圖知該幾何體為直四棱柱，其底面為等腰梯形，上底長為2，下底長為8，高為4，故面積為S＝＝20.又棱柱的高為10，所以體積V＝Sh＝20×10＝200.

4．如圖是一個物體的三視圖，則此三視圖所描述物體的直觀圖是 (　　)

答案　D

解析　由俯視圖可知是B和D中的一個，由主視圖和左視圖可知B錯．

5．某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是個半圓，則該幾何體的表面積為 (　　)

A.π B．π＋

C.π＋ D.π＋

答案　C

解析　由三視圖可知該幾何體為一個半圓錐，底面半徑為1，高為，∴表面積S＝×2×＋×π×12＋×π×1×2＝＋.

二、填空題

6．

如圖所示，E、F分别為正方體ABCD—A1B1C1D1的面ADD1A1、面

BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面DCC1D1上的投

影是________．(填序号)

答案　②

解析　四邊形在面DCC1D1上的投影為②：B在面DCC1D1上的投影為C，F、E在面DCC1D1上的投影應在邊CC1與DD1上，而不在四邊形的内部，故①③④錯誤．

7．已知三棱錐A—BCD的所有棱長都為，則該三棱錐的外接球的表面積為________．

答案　3π

解析　

如圖，構造正方體ANDM—FBEC.因為三棱錐A—BCD的所有

棱長都為，所以正方體ANDM—FBEC的棱長為1.所以該正方體的

外接球的半徑為.

易知三棱錐A—BCD的外接球就是正方體ANDM—FBEC的外接球，

所以三棱錐A—BCD的外接球的半徑為.所以三棱錐A—BCD的外接球的表面積為S球

＝4π2＝3π.

8．(2013·江蘇)如圖，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中點，設三棱錐F－ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1∶V2＝________.

答案　1∶24

解析　設三棱錐F－ADE的高為h，

則＝

＝.

三、解答題

9．一個幾何體的三視圖及其相關數據如圖所示，求這個幾何體的表面積．

解　這個幾何體是一個圓台被軸截面割出來的一半．

根據圖中數據可知圓台的上底面半徑為1，下底面半徑為2，高為，母線長為2，幾何體的表面積是兩個半圓的面積、圓台側面積的一半和軸截面的面積之和，故這個幾何體的表面積為S＝π×12＋π×22＋π×(1＋2)×2＋×(2＋4)×＝＋3.

10．已知一個上、下底面為正三角形且兩底面中心連線垂直于底面的三棱台的兩底面邊長分别為30 cm和20 cm，且其側面積等于兩底面面積之和，求棱台的高．

解　如圖所示，三棱台ABC—A1B1C1中，O、O1分别為兩底面中心，

D、D1分别為BC和B1C1的中點，則DD1為棱台的斜高．

由題意知A1B1＝20，AB＝30，

則OD＝5，O1D1＝，

由S側＝S上＋S下，得

×(20＋30)×3DD1＝×(202＋302)，

解得DD1＝，

在直角梯形O1ODD1中，

O1O＝＝4，

所以棱台的高為4 cm.

B組　專項能力提升

(時間：30分鐘)

1．在四棱錐E—ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD,2AB＝3CD，M為AE的中點，設E—ABCD的體積為V，那麼三棱錐M—EBC的體積為 (　　)

A.V B.V

C.V D.V

答案　D

解析　設點B到平面EMC的距離為h1，點D到平面EMC的距離為h2.

連接MD.

因為M是AE的中點，

所以VM—ABCD＝V.

所以VE—MBC＝V－VE—MDC.

而VE—MBC＝VB—EMC，VE—MDC＝VD—EMC，

所以＝＝.

因為B，D到平面EMC的距離即為到平面EAC的距離，而AB∥CD，且2AB＝3CD，

所以＝.

所以VE—MBC＝VM－EBC＝V.

2．已知四棱錐P－ABCD的三視圖如下圖所示，則四棱錐P－ABCD的四個側面中的最大的面積是 (　　)

A．3 B．2 C．6 D．8

答案　C

解析　因為三視圖複原的幾何體是四棱錐，頂點在底面的射影是底面矩形的長邊的中點，底面邊長分别為4,2，後面是等腰三角形，腰為3，所以後面的三角形的高為＝，所以後面三角形的面積為×4×＝2，兩個側面面積為×2×3＝3，後面三角形的面積為×4×＝6，四棱錐P－ABCD的四個側面中面積最大的是前面三角形的面積：6.故選C.

3．表面積為3π的圓錐，它的側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為________．

答案　2

解析　設圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r.則πl2＋πr2＝3π，πl＝2πr，∴r＝1，即圓錐的底面直徑為2.

4．

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，

圖為該四棱錐的主視圖和左視圖，它們是腰長為6 cm的全等的等腰直

角三角形．

(1)根據圖所給的主視圖、左視圖，畫出相應的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；

(2)求PA.

解　

(1)該四棱錐的俯視圖為(内含對角線)，邊長為6 cm的正方形，如圖，

其面積為36 cm2.

(2)由左視圖可求得PD＝＝＝6.

由主視圖可知AD＝6，且AD⊥PD，

所以在Rt△APD中，

PA＝＝＝6 cm.

5．已知一個圓錐的底面半徑為R，高為H，在其内部有一個高為x的内接圓柱．

(1)求圓柱的側面積；

(2)x為何值時，圓柱的側面積最大？

解　(1)

作圓錐的軸截面，如圖所示．

因為＝，所以r＝R－x，

所以S圓柱側＝2πrx

＝2πRx－x2(0<x<H)．

(2)因為－<0，

所以當x＝＝時，S圓柱側最大．

故當x＝，即圓柱的高為圓錐高的一半時，圓柱的側面積最大．

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